com as condições iniciais x1(0)=3, x2(0)=-2, x3(0)=1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você enviou. A gente vai mexer com equações diferenciais lineares de ordem 1 com coeficientes constantes. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Esses conceitos ajudam a simplificar o sistema e encontrar soluções de forma organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Pra isso, a gente monta a equação característica, que é obtida calculando o determinante de $ A - \lambda I $, onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.
A matriz $ A $ é:
A - lambda I
Então, a equação característica fica:
A
I
Calculando o determinante, chegamos na equação cúbica:
A
Passo 3
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Testando possíveis raízes racionais, descobrimos que $ \lambda = 3 $ é uma solução. Então, podemos fatorar:
lambda = 3
Resolvendo a equação quadrática $ \lambda^2 + 5\lambda + 8 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
(lambda - 3)(lambda^2 + 5lambda + 8) = 0
Então, os autovalores são:
lambda^2 + 5lambda + 8 = 0
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com $ \lambda_1 = 3 $.
Substituindo $ \lambda_1 $ na equação $ (A - \lambda I)v = 0 $, e resolvendo o sistema, encontramos o autovetor $ v_1 $.
Repetimos o processo para $ \lambda_2 $ e $ \lambda_3 $, encontrando os autovetores $ v_2 $ e $ v_3 $.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. Ela é uma combinação linear das soluções individuais relacionadas a cada autovalor:
x1(t) = C1 e^3t + e^-52t( C2 cos(raiz72 t) + C3 sin(raiz72 t) ) x2(t) = (expressão similar para x2(t) ) x3(t) = (expressão similar para x3(t) ) ãã
Passo 6
Por último, aplicamos as condições iniciais $ x_1(0) = 3 $, $ x_2(0) = -2 $ e $ x_3(0) = 1 $ para determinar as constantes $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $. Substituindo $ t = 0 $ nas equações, resolvemos o sistema e encontramos os valores dessas constantes.
Resposta
A solução do sistema de equações diferenciais com as condições iniciais dadas é: