5^{\circ} ) ) Calcule o volume do sólido limitado por: x^{2}+y^{2}=4 ; y+z=4 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4, pelo plano y+z=4 e pelo plano z=0. O conteúdo aqui é cálculo de volume via integração, usando projeção no plano xy e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro identificamos a projeção D desse sólido no plano xy. Como z\ge0 e y+z=4 implica z=4-y, temos
0\le z\le 4-y
e o cilindro dá
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.

Passo 3

O volume é
V=\iint_{D}( \text{altura} )\,dA =\iint_{D}(4 - y)\,dA.

Passo 4

Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta, com
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi.
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V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(4 - r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(4r - r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculando a integral em r:
\int_{0}^{2}(4r - r^{2}\sin\theta)\,dr =\Bigl[2r^{2}-\tfrac{1}{3}r^{3}\sin\theta\Bigr]_{0}^{2} =8 - \tfrac{8}{3}\sin\theta.
Assim
V =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(8 - \tfrac{8}{3}\sin\theta\Bigr)\,d\theta =8\cdot2\pi - \tfrac{8}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta =16\pi.

Resposta

O volume do sólido é \;16\pi\; unidades de volume.

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