\left(x^{2} y^{2}+1\right) d x+2 x^{2} d y=0
[Use a substituição: x y=u ]

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}y^{2}+1\bigr)\,dx + 2x^{2}\,dy = 0
e sugere a substituição u = xy. O conteúdo aqui é usar essa troca de variáveis para reduzir a equação a uma forma separável. Para isso, precisaremos expressar dy e du e reescrever tudo em termos de x e u.

Passo 2

Como u = xy, temos
du = y\,dx + x\,dy
Logo
x\,dy = du - y\,dx \quad\Longrightarrow\quad dy = \frac{du - y\,dx}{x}.

Passo 3

Substituímos y = u/x onde for preciso e dy na equação original:
(x^{2}y^{2}+1)\,dx + 2x^{2}\Bigl(\frac{du - y\,dx}{x}\Bigr)=0.
Isto é
(x^{2}y^{2}+1)\,dx + 2x\,(du - y\,dx)=0 \;\Longrightarrow\; (x^{2}y^{2}+1 -2xy)\,dx +2x\,du=0.
Mas x^{2}y^{2}-2xy+1=(xy-1)^{2}, então
(u-1)^{2}\,dx + 2x\,du=0.

Passo 4

Reescrevemos como separável:
(u-1)^{2}\,dx = -2x\,du \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = -2\,\frac{du}{(u-1)^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = -2 \int (u-1)^{-2}\,du \;\Longrightarrow\; \ln\lvert x\rvert = -2\bigl(-\tfrac1{u-1}\bigr) + C = \frac{2}{u-1} + C.

Passo 6

Voltando a u=xy, a solução implícita geral é
\ln\lvert x\rvert = \frac{2}{xy-1} + C \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\lvert x\rvert - \frac{2}{xy-1} = C'.

Resposta

\boxed{\ln\lvert x\rvert - \frac{2}{xy-1} = C.}

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