Se \left(1+x+x^{2}\right)^{n}=A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots+A_{2 n} x^{2 n}, determine o valor de:
a) A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{2 n}
b) A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2 n}.

Passo 1

O enunciado dá a identidade
(1+x+x^{2})^{n}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots+A_{2n}x^{2n},
com A_{k} sendo os coeficientes. As perguntas são duas:
a) Calcular \;A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{2n}.
b) Calcular \;A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2n} (ou seja, a soma dos coeficientes de termos de expoente par).

Passo 2

Primeira ideia útil (muito usada em prova): avaliar o polinômio em x=1. Se definirmos
P(x)=(1+x+x^{2})^{n}=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}x^{k},
então substituir x=1
P(1)=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}\cdot 1^{k}=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}.
Portanto a soma de todos os coeficientes é simplesmente P(1). Agora calculamos P(1) diretamente:
P(1)=(1+1+1)^{n}=3^{n}.
Logo a resposta da alínea (a) é \;3^{n}.

Passo 3

Para a soma dos coeficientes de expoente par usamos outro truque clássico: avaliar também em x=-1. Note que
P(-1)=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}(-1)^{k}=\sum_{\text{pares }k}A_{k}-\sum_{\text{ímpares }k}A_{k}.í
Se chamarmos S_{\text{tot}}=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}, S_{\text{par}}=\sum_{\text{pares }k}A_{k} e S_{\text{ímpar}}=\sum_{\text{ímpares }k}A_{k}íí, então temos o sistema simples
S_{\text{tot}}=S_{\text{par}}+S_{\text{ímpar}},í
P(-1)=S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}}.í
Somando essas duas equações obtemos
S_{\text{par}}=\frac{S_{\text{tot}}+P(-1)}{2}.
Portanto, para achar S_{\text{par}} precisamos de S_{\text{tot}}=P(1) (já encontramos) e de P(-1).

Passo 4

Calculamos P(-1) diretamente na expressão original:
P(-1)=(1+(-1)+(-1)^{2})^{n}=(1-1+1)^{n}=1^{n}=1.
Já tínhamos P(1)=3^{n}. Substituindo na fórmula do passo anterior:
S_{\text{par}}=\frac{3^{n}+1}{2}.

Passo 5

Vamos verificar com um exemplo pequeno para ficar tranquilo: para n=2,
(1+x+x^{2})^{2}=1+2x+3x^{2}+2x^{3}+x^{4}.
A soma de todos os coeficientes é 1+2+3+2+1=9=3^{2} (confere). A soma dos coeficientes de índices pares é 1+3+1=5, e \frac{3^{2}+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5 (confere).

Resposta

a) 3^{n}
b) \dfrac{3^{n}+1}{2}

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