Se
, determine o valor de:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a identidade
com
sendo os coeficientes. As perguntas são duas:
a) Calcular .
b) Calcular (ou seja, a soma dos coeficientes de termos de expoente par).
a) Calcular
b) Calcular
Passo 2
Primeira ideia útil (muito usada em prova): avaliar o polinômio em
. Se definirmos
então substituir
dá
Portanto a soma de todos os coeficientes é simplesmente
. Agora calculamos
diretamente:
Logo a resposta da alínea (a) é
.
Passo 3
Para a soma dos coeficientes de expoente par usamos outro truque clássico: avaliar também em
. Note que
Se chamarmos
,
e
, então temos o sistema simples
Somando essas duas equações obtemos
Portanto, para achar
precisamos de
(já encontramos) e de
.
Passo 4
Calculamos
diretamente na expressão original:
Já tínhamos
. Substituindo na fórmula do passo anterior:
Passo 5
Vamos verificar com um exemplo pequeno para ficar tranquilo: para
,
A soma de todos os coeficientes é
(confere). A soma dos coeficientes de índices pares é
, e
(confere).
Resposta
a)
b)
b)