Determine p para que seja máximo:
C_{10}^{p}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de p para o qual o número binomial C_{10}^{p} é máximo. Informações relevantes dadas:
\text{temos }10\text{ elementos no total, e }p\text{ é o índice do coeficiente binomial,}éí
logo p deve ser um inteiro com 0\le p\le10. Não há mais restrições no enunciado.

Passo 2

Lembrete útil (definição): o coeficiente binomial \,C_{n}^{p}\, é definido por
C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. No nosso caso n=10, então
C_{10}^{p}=\frac{10!}{p!(10-p)!}.
Essa fórmula nos permite comparar coeficientes para diferentes p.

Passo 3

Estratégia para comparar: é prático comparar coeficientes consecutivos usando a razão
\frac{C_{10}^{p+1}}{C_{10}^{p}}.
Vou derivar essa razão para ver quando a sequência de coeficientes cresce ou decresce. Usando a definição,
\frac{C_{10}^{p+1}}{C_{10}^{p}} =\frac{\dfrac{10!}{(p+1)!(10-(p+1))!}}{\dfrac{10!}{p!(10-p)!}} =\frac{p!(10-p)!}{(p+1)!(9-p)!}.
Simplificando (p+1)!=(p+1)p! e (10-p)!=(10-p)(9-p)! obtemos
\frac{C_{10}^{p+1}}{C_{10}^{p}} =\frac{(10-p)}{(p+1)}.

Passo 4

Interpretação da razão: se \dfrac{C_{10}^{p+1}}{C_{10}^{p}}>1 então C_{10}^{p+1}>C_{10}^{p} (cresce), se \dfrac{C_{10}^{p+1}}{C_{10}^{p}}<1 então decresce. Assim consideramos a desigualdade
\frac{10-p}{p+1}\ge 1.
Resolvendo passo a passo:
10-p \ge p+1
10-1 \ge 2p
9 \ge 2p
\frac{9}{2} \ge p,
ou seja p\le 4{,}5. Como p é inteiro, isto significa que para p=0,1,2,3,4 a sequência cresce e, a partir de p=5, a sequência deixa de crescer (passa a decrescer). Portanto a mudança de crescimento para decrescimento ocorre entre os índices p=4 e p=5.

Passo 5

Outra observação importante (simetria): para todo n vale
C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p}.
Aplicando a n=10 temos C_{10}^{p}=C_{10}^{10-p}. Isso implica que os coeficientes são espelhados em torno do índice central. Para n par (como 10), o máximo ocorre no índice central p=\tfrac{n}{2} (ou seja, no meio), porque a sequência cresce até um ponto e depois decresce simetricamente.

Passo 6

Para ganhar intuição numérica, calculo dois valores próximos do centro para confirmar:
C_{10}^{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210,
C_{10}^{5}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=252.
Como C_{10}^{5}=252>210=C_{10}^{4} e a sequência decresce depois de p=5, fica claro que o maior valor ocorre no índice central.

Resposta

p=5

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