Determine
para que seja máximo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
para o qual o número binomial
é máximo. Informações relevantes dadas:
logo
deve ser um inteiro com
. Não há mais restrições no enunciado.
Passo 2
Lembrete útil (definição): o coeficiente binomial
é definido por
onde
(fatorial de
) significa
. No nosso caso
, então
Essa fórmula nos permite comparar coeficientes para diferentes
.
Passo 3
Estratégia para comparar: é prático comparar coeficientes consecutivos usando a razão
Vou derivar essa razão para ver quando a sequência de coeficientes cresce ou decresce. Usando a definição,
Simplificando
e
obtemos
Passo 4
Interpretação da razão: se
então
(cresce), se
então decresce. Assim consideramos a desigualdade
Resolvendo passo a passo:
ou seja
. Como
é inteiro, isto significa que para
a sequência cresce e, a partir de
, a sequência deixa de crescer (passa a decrescer). Portanto a mudança de crescimento para decrescimento ocorre entre os índices
e
.
Passo 5
Outra observação importante (simetria): para todo
vale
Aplicando a
temos
. Isso implica que os coeficientes são espelhados em torno do índice central. Para
par (como
), o máximo ocorre no índice central
(ou seja, no meio), porque a sequência cresce até um ponto e depois decresce simetricamente.
Passo 6
Para ganhar intuição numérica, calculo dois valores próximos do centro para confirmar:
Como
e a sequência decresce depois de
, fica claro que o maior valor ocorre no índice central.