Determine
para que seja máximo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de
para os quais o coeficiente binomial
é máximo.
Informações relevantes dadas ou implícitas: é um inteiro positivo; o índice
presume-se ser um inteiro com
(domínio natural dos coeficientes binomiais). Não há mais informação adicional no enunciado.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
Passo 2
Vamos lembrar o que é o coeficiente binomial e uma forma útil de trabalhá-lo.
Definição: para inteiros e
,
Definição: para inteiros
onde
(fatorial) é o produto
. Aqui
conta, por exemplo, o número de maneiras de escolher
itens entre
sem ordem.
No nosso caso, e queremos estudar
para
.
No nosso caso,
Passo 3
Uma técnica prática para encontrar o
que maximiza
é comparar termos consecutivos usando a razão
Vamos deduzir essa razão: usando a definição,
Interpretação: se
então
(a sequência cresce entre
e
); se a razão é
decresce; se é
os dois termos são iguais (plano).
Passo 4
Aplicando isso com
, temos para cada
com
:
Queremos saber até onde a sequência aumenta. Impomos
Isso dá
Passo 5
A desigualdade
significa que para
tem-se
: a sequência dos binomiais aumenta até
. Em particular, para
a razão é
logo
. Para
a razão é
, portanto a sequência decresce a partir de
. Assim os maiores valores ocorrem exatamente em
e
, iguais entre si.
Passo 6
Podemos calcular o valor máximo, se quiser ver numericamente. Usando a identidade
e os valores conhecidos
e
, obtemos
Portanto o valor máximo é
, alcançado para
e
.