Determine p para que seja máximo:
C_{21}^{p}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de p para os quais o coeficiente binomial \binom{21}{p} é máximo.
Informações relevantes dadas ou implícitas: 21 é um inteiro positivo; o índice p presume-se ser um inteiro com 0 \le p \le 21 (domínio natural dos coeficientes binomiais). Não há mais informação adicional no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o coeficiente binomial e uma forma útil de trabalhá-lo.
Definição: para inteiros n\ge 0 e 0\le k\le n,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui \binom{n}{k} conta, por exemplo, o número de maneiras de escolher k itens entre n sem ordem.
No nosso caso, n=21 e queremos estudar \binom{21}{p} para p=0,1,\dots,21.

Passo 3

Uma técnica prática para encontrar o p que maximiza \binom{n}{p} é comparar termos consecutivos usando a razão
\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}.
Vamos deduzir essa razão: usando a definição,
\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}} = \frac{\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\dfrac{n!}{k!(n-k)!}} = \frac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{n-k}{k+1}.
Interpretação: se \dfrac{n-k}{k+1}>1 então \binom{n}{k+1}>\binom{n}{k} (a sequência cresce entre k e k+1); se a razão é <1 decresce; se é =1 os dois termos são iguais (plano).

Passo 4

Aplicando isso com n=21, temos para cada k com 0\le k\le 20:
\frac{\binom{21}{k+1}}{\binom{21}{k}}=\frac{21-k}{k+1}.
Queremos saber até onde a sequência aumenta. Impomos
\frac{21-k}{k+1}\ge 1.
Isso dá
21-k \ge k+1 \quad\Longrightarrow\quad 21 \ge 2k+1 \quad\Longrightarrow\quad 2k \le 20 \quad\Longrightarrow\quad k \le 10.

Passo 5

A desigualdade k\le 10 significa que para k=0,1,\dots,10 tem-se \binom{21}{k+1}\ge\binom{21}{k}: a sequência dos binomiais aumenta até k=10. Em particular, para k=10 a razão é
\frac{\binom{21}{11}}{\binom{21}{10}}=\frac{21-10}{11}=\frac{11}{11}=1,
logo \binom{21}{11}=\binom{21}{10}. Para k\ge 11 a razão é \le 1, portanto a sequência decresce a partir de k=11. Assim os maiores valores ocorrem exatamente em p=10 e p=11, iguais entre si.

Passo 6

Podemos calcular o valor máximo, se quiser ver numericamente. Usando a identidade \binom{21}{10}=\binom{20}{10}+\binom{20}{9} e os valores conhecidos \binom{20}{10}=184756 e \binom{20}{9}=167960, obtemos
\binom{21}{10}=\binom{21}{11}=184756+167960=352716.
Portanto o valor máximo é 352716, alcançado para p=10 e p=11.

Resposta

p=10
p=11

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