[4.] Considerando o fator integrante,
encontre as soluções da EDO não linear
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e fornece um fator integrante geral da forma
A tarefa é encontrar as soluções da EDO (a solução geral). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está dada como
. - Devemos trabalhar com
. - Foi indicado o fator integrante
, que devemos usar quando escrevemos a EDO na forma .
Passo 2
Transformar a EDO em forma diferencial
. Partindo de
, escrevemos
Colocando tudo na forma
usamos a equivalência
quando
. Assim
com
Anotação: toda esta matemática está dentro de ambientes
conforme pedido.
Passo 3
Calcular a expressão
que aparece no fator integrante dado:
Portanto, usando o fator integrante fornecido,
Ou seja, o fator integrante é
. (Repare que isto exige
e
; veremos a solução
como caso especial.)
Passo 4
Multiplicar a equação diferencial original por
para torná-la exata. Os novos coeficientes são
Calcular e simplificar:
Explicação (o que é exactidão): uma equação
é exata se existir uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática para exatidão (em um domínio onde as derivadas existem) é
Verifiquemos:
Como as duas derivadas coincidem, a equação é exata após multiplicar pelo fator integrante
.
Passo 5
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
Integramos termo a termo, tratando
como constante durante a integração em
:
Calcule cada integral:
Substituindo,
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Impor a condição
para determinar
. Primeiro calcule
Esta derivada deve ser igual a
. Assim
Logo
é constante, digamos
.
Passo 7
A solução implícita da equação exata é dada por
onde
é constante arbitrária. Esta é a família de curvas solução. Podemos também isolar
(quando
e
):
Observações sobre casos especiais e domínio:
- A dedução do fator integrante usou
(pois está indefinida em ). Entretanto, (solução identicamente zero) satisfaz a EDO original, porque substituindo tem-se . Logo é uma solução singular que não aparece na família obtida pela divisão por . - As soluções explícitas
têm singularidades onde (fora do domínio dado) ou onde (pontos onde explode). Em provas, normalmente expressar a solução implícita é suficiente e elegante.