\left(0,6\right. pontos) Use a regra de L’Hospital para calcular \lim _{x \rightarrow+\infty} 3 x^{2} \cdot\left(e^{\frac{4}{5 x^{2}}}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}3x^{2}\bigl(e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1\bigr).
O conteúdo principal é a regra de L’Hopital, pois ao expandir percebemos uma forma indeterminada do tipo 0\!\big/0.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como uma única fração, colocando o segundo fator no denominador:
3x^{2}\bigl(e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1\bigr) =\frac{e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1}{\tfrac{1}{3x^{2}}}.
Quando x\to+\infty, o numerador vai para e^{0}-1=0 e o denominador vai para 0, configurando 0\!\big/0.

Passo 3

Como temos 0\!\big/0, aplicamos a regra de L’Hopital, derivando numerador e denominador separadamente:
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1}{\tfrac{1}{3x^{2}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{d}{dx}\bigl(e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1\bigr)}{\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{3x^{2}}\bigr)}.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
  • Derivada do numerador: \frac{d}{dx}\bigl(e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1\bigr) =e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{4}{5x^{2}}\Bigr) =e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}\cdot\Bigl(-\frac{8}{5x^{3}}\Bigr).
  • Derivada do denominador: \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{3x^{2}}\Bigr) =-\frac{2}{3x^{3}}.
Substituindo na razão de derivadas:
\frac{-\frac{8}{5x^{3}}\,e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}}{-\frac{2}{3x^{3}}} =\frac{8}{5x^{3}}\,e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}\cdot\frac{3x^{3}}{2} =\frac{12}{5}\,e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}.

Passo 5

Ao tomar x\to+\infty, temos e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}\to e^{0}=1. Logo
\lim_{x\to+\infty}3x^{2}\bigl(e^{\tfrac{4}{5x^{2}}}-1\bigr) =\frac{12}{5}\cdot1 =\frac{12}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{5}

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