( \mathbf{0 , 6} pontos) Uma torneira lança água em um recipiente, sendo o volume da água no instante t igual a V(\mathrm{t})=\ln \left(15+\mathrm{t}^{2}\right), \mathrm{V}(\mathrm{t}) em \mathrm{m}^{3} e t em horas. Sabendo que em certo instante a vazão (taxa de variação instantânea do volume em relação ao tempo) é de \frac{1}{4} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}, determine este instante.

Passo 1

O enunciado diz que o volume de água no recipiente é dado por
V(t)=\ln\bigl(15+t^2\bigr),
com V em \mathrm{m}^3 e t em horas. Queremos achar o instante t em que a vazão, isto é, a derivada V'(t), vale \tfrac{1}{4}\,\mathrm{m}^3/\mathrm{h}. Para isso vamos usar a regra de derivação de \ln(u), que é
\frac{d}{dt}\ln(u)=\frac{u'}{u}.

Passo 2

Calcular V'(t). Aqui u(t)=15+t^2, então u'(t)=2t. Logo
V'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{2t}{15+t^2}.

Passo 3

Impor que a vazão seja \tfrac{1}{4}:
\frac{2t}{15+t^2}=\frac{1}{4}.
Multiplicando ambos os lados por 4(15+t^2), obtemos
8t=15+t^2.

Passo 4

Reescrever como equação do segundo grau:
t^2-8t+15=0.
O discriminante é \Delta=(-8)^2-4\cdot1\cdot15=64-60=4. As raízes são
t=\frac{8\pm2}{2}\;\Longrightarrow\;t=5\quad\text{ou}\quad t=3.

Passo 5

Como t representa tempo em horas e deve ser não negativo, ambas soluções são fisicamente válidas.

Resposta

Os instantes em que a vazão é \tfrac{1}{4}\,\mathrm{m}^3/\mathrm{h} são t=3 h e t=5 h.

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