\left(0,6\right. pontos) Calcule a derivada da função f(x)=2 x^{3} \ln x-4 \sqrt[3]{x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2x^{3}\ln x \;-\;4\sqrt[3]{x}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivar 2x^{3}\ln x, a derivada de \ln x e a regra de potência para derivar x^{1/3}.

Passo 2

Para derivar o termo 2x^{3}\ln x aplicamos a regra do produto. Definimos
u(x)=2x^{3},\quad v(x)=\ln x.
A derivada do produto é
(uv)'=u'v+uv'.
Calculamos
u'(x)=6x^{2},\quad v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Substituindo em (uv)'=u'v+uv', obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\ln x\bigr) =6x^{2}\ln x \;+\;2x^{3}\cdot\frac{1}{x} =6x^{2}\ln x +2x^{2}.

Passo 4

Para derivar -4\sqrt[3]{x} escrevemos \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e aplicamos a regra de potência:
\frac{d}{dx}x^{1/3}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{1/3}\bigr) =-4\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3} =-\frac{4}{3}x^{-2/3}.

Passo 5

Somando as duas derivadas, temos
f'(x) =6x^{2}\ln x +2x^{2} \;-\;\frac{4}{3}x^{-2/3}.

Resposta

f'(x)=6x^{2}\ln x +2x^{2}-\frac{4}{3}x^{-2/3}.

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