\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=4 \\\ x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=-4 \\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido.
As equações fornecidas são:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=4\\[4pt] x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=-4\\[4pt] x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2 \end{cases}
O que se pede: determinar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, que satisfazem simultaneamente todas as quatro equações.]

Passo 2

Estratégia (curta e prática): usar combinações lineares (soma e subtração) das equações para eliminar variáveis passo a passo. Isso é a base do método de eliminação: somando ou subtraindo equações conseguimos anular alguma incógnita e reduzir o número de incógnitas do sistema.
Primeiro, somo a primeira com a segunda equação para eliminar x_{4}. Somando:
(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}) + (x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}) = 0 + 4.
Do lado esquerdo o x_{4} cancela, ficando
2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=4.
Dividindo ambos os lados por 2 obtém-se
x_{1}+x_{2}+x_{3}=2.

Passo 3

Agora uso a relação que acabei de obter junto com a primeira equação original para achar x_{4}. A primeira equação é
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0.
Substituo x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 nessa equação:
2 + x_{4} = 0.
Portanto
x_{4} = -2.

Passo 4

Com x_{4}=-2 eu substituo nas outras equações para simplificá-las. Faço isso nas equações 2, 3 e 4.
Na equação 2:
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+x_{2}+x_{3}-(-2)=4,
logo
x_{1}+x_{2}+x_{3}+2=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+x_{2}+x_{3}=2.
(é consistente com o que já tínhamos).
Na equação 3:
x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=-4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+x_{2}-x_{3}+(-2)=-4,
portanto
x_{1}+x_{2}-x_{3}-2=-4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2.
Na equação 4:
x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-x_{2}+x_{3}-2=2,
logo
x_{1}-x_{2}+x_{3}=4.
Agora reduzi o sistema a três equações mais simples:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\[4pt] x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2\\[4pt] x_{1}-x_{2}+x_{3}=4 \end{cases}]

Passo 5

Vou eliminar x_{1} e x_{2} parcialmente para achar x_{3}. Subtraio a segunda dessas três equações da primeira:
(x_{1}+x_{2}+x_{3}) - (x_{1}+x_{2}-x_{3}) = 2 - (-2).
No lado esquerdo x_{1} e x_{2} cancelam, sobrando 2x_{3}. No lado direito 2-(-2)=4. Assim
2x_{3}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=2.

Passo 6

Com x_{3}=2 volto à equação x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 para obter x_{1}+x_{2}:
x_{1}+x_{2}+2=2 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+x_{2}=0.

Passo 7

Uso também x_{3}=2 na equação x_{1}-x_{2}+x_{3}=4 para obter x_{1}-x_{2}:
x_{1}-x_{2}+2=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}-x_{2}=2.
Agora tenho o sistema 2\times2:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=0\\[4pt] x_{1}-x_{2}=2 \end{cases}]

Passo 8

Resolvo esse sistema simples somando as duas equações para eliminar x_{2}:
(x_{1}+x_{2}) + (x_{1}-x_{2}) = 0 + 2 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}=2,
portanto
x_{1}=1.
Substituo x_{1}=1 em x_{1}+x_{2}=0 para achar x_{2}:
1 + x_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = -1.

Passo 9

Reuni os resultados encontrados e faço uma checagem rápida substituindo nas equações originais para garantir que não houve erro:
x_{1}=1,\quad x_{2}=-1,\quad x_{3}=2,\quad x_{4}=-2.
Checagem na equação 1:
1 + (-1) + 2 + (-2) = 0 \quad\checkmark
Checagem na equação 2:
1 + (-1) + 2 - (-2) = 4 \quad\checkmark
As outras duas também vão satisfazer (pode verificar do mesmo jeito), então a solução está correta.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=2
x_{4}=-2

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