Mostre que existem infinitos primos da forma 4 k-1, isto é, da forma 4 k+3.
Sugestão: Mostre que todo número ímpar é da forma 4 k+1 ou 4 k+3. Depois mostre que todo número da forma 4 k-1 possui pelo menos um divisor primo desta mesma forma.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que existem infinitos números primos da forma 4k-1 (equivalente a 4k+3).
Informações relevantes dadas ou sugeridas:
  • A sugestão diz para mostrar primeiro que todo número ímpar é da forma 4k+1 ou 4k+3.
  • Depois sugere mostrar que todo número da forma 4k-1 tem pelo menos um divisor primo também da forma 4k-1.
    Não foi dada nenhuma figura ou tabela; só precisamos usar essas afirmações e raciocínio elementar.

Passo 2

Provar que todo número inteiro ímpar é da forma 4k+1 ou 4k+3.
Explicação das ferramentas: pela divisão euclidiana, qualquer inteiro n pode ser escrito como
n=4q+r,
com q\in\mathbb{Z} e r\in\{0,1,2,3\}. O resto r é justamente o resto da divisão por 4. Se n é ímpar, então n não é divisível por 2, logo o resto r não pode ser 0 nem 2 (esses dão números pares). Portanto os únicos restos possíveis são r=1 ou r=3. Assim, todo inteiro ímpar n é ou da forma
n=4q+1
ou da forma
n=4q+3.
Breve exemplo para fixar: 9=4\cdot2+1 (é da forma 4k+1); 11=4\cdot2+3 (é da forma 4k+3).

Passo 3

Lema: se n é um inteiro com n\equiv 3\pmod 4 (ou seja, n=4k-1 ou n=4k+3), então n possui pelo menos um divisor primo p com p\equiv 3\pmod 4.
Prova do lema, passo a passo e didática:
  • Primeiro, observar que n\equiv 3\pmod 4 implica que n é ímpar, então 2 não divide n. Portanto todos os primos que dividem n são ímpares.
  • Escrevendo a fatoração prima (com multiplicidades),
n=\prod_{i=1}^{t} p_i^{\alpha_i},
onde cada p_i é um primo ímpar e \alpha_i\ge1.
  • Suponha, por contradição, que todos os primos p_i que aparecem aí satisfazem p_i\equiv 1\pmod 4. Vou mostrar que isso leva a um absurdo.
  • Fato útil (explicar por que é válido): congruência é multiplicativa. Se a\equiv a'\pmod m e b\equiv b'\pmod m, então ab\equiv a'b'\pmod m. Em particular, se p\equiv1\pmod4 então qualquer potência p^{\alpha}\equiv1^{\alpha}\equiv1\pmod4.
  • Assim, sob a suposição que todos os p_i são congruentes a 1 modulo 4, cada p_i^{\alpha_i}\equiv1\pmod4, e multiplicando:
n=\prod_{i=1}^{t} p_i^{\alpha_i}\equiv \prod_{i=1}^{t} 1 \equiv 1\pmod4.
  • Mas isso contradiz a hipótese n\equiv 3\pmod4. Portanto a suposição era falsa: não é possível que todos os primos divisores de n sejam congruentes a 1 módulo 4.
  • Conclusão do lema: n tem pelo menos um primo divisor p com p\equiv 3\pmod4.
Comentário pedagógico: a ideia essencial é que um produto de números que valem 1 módulo 4 permanece 1 módulo 4; para obter resto 3 modulo 4 em um produto é necessário que algum fator contribua com resto 3.

Passo 4

Prova principal: existem infinitos primos da forma 4k-1.
Estratégia (padrão tipo Euclides): assumir que só há finitamente muitos primos da forma 4k-1, construir um número novo da forma 4k-1 que não seja divisível por nenhum desses primos, e usar o lema para extrair um novo primo da forma 4k-1, contradizendo a finitude.
Detalhamento:
  • Suponha, por contradição, que existem apenas finitos primos congruentes a 3 modulo 4. Liste-os: p_1,p_2,\dots,p_r, todos com p_i\equiv3\pmod4.
  • Defina o produto
P:=\prod_{i=1}^{r} p_i.
  • Considere o número
N:=4P-1.
Explicar: N é construído para ser congruente a -1 módulo cada p_i e também para ser \equiv 3\pmod4.
  • Verificar duas propriedades importantes de N:
    1. N\equiv 4P-1\equiv -1\equiv 3\pmod4. (Porque -1 e 3 são congruentes modulo 4.)
    2. Para cada i, como P\equiv 0\pmod{p_i}, tem-se N\equiv 4\cdot0-1\equiv -1\pmod{p_i}. Logo p_i\nmid N (nenhum p_i divide N).
  • Agora, N>1 e, portanto, tem algum divisor primo q. Pelo item 1 e pelo lema do Passo 3, já que N\equiv3\pmod4, esse primo q satisfaz q\equiv3\pmod4.
  • Pelo item 2, q não pode ser nenhum dos p_1,\dots,p_r. Portanto q é um primo novo da forma 4k-1 não listado originalmente.
  • Isso contradiz a hipótese de que a lista p_1,\dots,p_r continha todos os primos da forma 4k-1. Logo a hipótese está falsa.
Conclusão: existem infinitos primos congruentes a 3\pmod4, i.e., da forma 4k-1.

Passo 5

Resumo final e motivação intuitiva: a construção N=4P-1 garante que N é da forma 4k-1 e ao mesmo tempo escapa de ser dividido por qualquer primo da lista inicial; o lema garante que qualquer número da forma 4k-1 tem um primo divisor também da forma 4k-1. Assim sempre se encontra um primo novo, e não há como a lista ser finita. Pronto — a família de primos 4k-1 é infinita. Continua firme nos estudos — essa prova tem o mesmo espírito da prova clássica de Euclides, só que adaptada ao modulo 4!

Resposta

Existem infinitos primos da forma 4k-1 (equivalentemente, 4k+3).

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