Mostre que existem infinitos primos da forma
, isto é, da forma
.
Sugestão: Mostre que todo número ímpar é da forma
ou
. Depois mostre que todo número da forma
possui pelo menos um divisor primo desta mesma forma.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que existem infinitos números primos da forma
(equivalente a
).
Informações relevantes dadas ou sugeridas:
Informações relevantes dadas ou sugeridas:
- A sugestão diz para mostrar primeiro que todo número ímpar é da forma
ou . - Depois sugere mostrar que todo número da forma
tem pelo menos um divisor primo também da forma .
Não foi dada nenhuma figura ou tabela; só precisamos usar essas afirmações e raciocínio elementar.
Passo 2
Provar que todo número inteiro ímpar é da forma
ou
.
Explicação das ferramentas: pela divisão euclidiana, qualquer inteiro
pode ser escrito como
com
e
. O resto
é justamente o resto da divisão por
. Se
é ímpar, então
não é divisível por
, logo o resto
não pode ser
nem
(esses dão números pares). Portanto os únicos restos possíveis são
ou
. Assim, todo inteiro ímpar
é ou da forma
ou da forma
Breve exemplo para fixar:
(é da forma
);
(é da forma
).
Passo 3
Lema: se
é um inteiro com
(ou seja,
ou
), então
possui pelo menos um divisor primo
com
.
Prova do lema, passo a passo e didática:
- Primeiro, observar que
implica que é ímpar, então não divide . Portanto todos os primos que dividem são ímpares. - Escrevendo a fatoração prima (com multiplicidades),
onde cada
é um primo ímpar e
.
- Suponha, por contradição, que todos os primos
que aparecem aí satisfazem . Vou mostrar que isso leva a um absurdo. - Fato útil (explicar por que é válido): congruência é multiplicativa. Se
e , então . Em particular, se então qualquer potência . - Assim, sob a suposição que todos os
são congruentes a modulo , cada , e multiplicando:
- Mas isso contradiz a hipótese
. Portanto a suposição era falsa: não é possível que todos os primos divisores de sejam congruentes a módulo . - Conclusão do lema:
tem pelo menos um primo divisor com .
Comentário pedagógico: a ideia essencial é que um produto de números que valem
módulo
permanece
módulo
; para obter resto
modulo
em um produto é necessário que algum fator contribua com resto
.
Passo 4
Prova principal: existem infinitos primos da forma
.
Estratégia (padrão tipo Euclides): assumir que só há finitamente muitos primos da forma
, construir um número novo da forma
que não seja divisível por nenhum desses primos, e usar o lema para extrair um novo primo da forma
, contradizendo a finitude.
Detalhamento:
- Suponha, por contradição, que existem apenas finitos primos congruentes a
modulo . Liste-os: , todos com . - Defina o produto
- Considere o número
Explicar:
é construído para ser congruente a
módulo cada
e também para ser
.
- Verificar duas propriedades importantes de
: -
. (Porque e são congruentes modulo .) - Para cada
, como , tem-se . Logo (nenhum divide ).
-
- Agora,
e, portanto, tem algum divisor primo . Pelo item 1 e pelo lema do Passo 3, já que , esse primo satisfaz . - Pelo item 2,
não pode ser nenhum dos . Portanto é um primo novo da forma não listado originalmente. - Isso contradiz a hipótese de que a lista
continha todos os primos da forma . Logo a hipótese está falsa.
Conclusão: existem infinitos primos congruentes a
, i.e., da forma
.
Passo 5
Resumo final e motivação intuitiva: a construção
garante que
é da forma
e ao mesmo tempo escapa de ser dividido por qualquer primo da lista inicial; o lema garante que qualquer número da forma
tem um primo divisor também da forma
. Assim sempre se encontra um primo novo, e não há como a lista ser finita. Pronto — a família de primos
é infinita. Continua firme nos estudos — essa prova tem o mesmo espírito da prova clássica de Euclides, só que adaptada ao modulo
!
Resposta
Existem infinitos primos da forma
(equivalentemente,
).