a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para x, y, z e w. )
b) Agora, resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução.
c) Resolva também o sistema homogêneo associado.
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em b ) é a soma de uma matriz–solução encontrada em c ) com a solução particular que você encontrou em a ).
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear 4×4 e pede quatro coisas:
(a) encontrar uma solução atribuída (ou seja, um vetor \begin{bmatrix}x\y\z\w\end{bmatrix} que satisfaça o sistema) sem “resolver tudo”;
(b) resolver efetivamente o sistema e obter a matriz/vetor- solução geral;
(c) resolver o sistema homogêneo associado A\mathbf{v}=\mathbf{0};
(d) verificar que qualquer solução geral obtida em (b) é a soma da solução particular de (a) com uma solução do homogêneo de (c).
As informações fornecidas são a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes:
O objetivo é trabalhar com esse sistema para obter soluções. Nada mais é pedido além disso.
Passo 2
Vamos começar por (a): “encontrar uma solução sem resolvê-lo completamente”. A ideia prática é atribuir algum valor conveniente a uma variável para simplificar as equações e tentar obter valores inteiros/rápidos para as demais. Uma escolha natural é tentar eliminar o termo com coeficiente -1\) de todas as equações, atribuindo \(\,w=0\). Isso transforma o sistema em:
\[\begin{cases} x+2y=2,\\[4pt] x+2z=2,\\[4pt] x+2y+2z=4,\\[4pt] 3x+4y+4z=8, \end{cases}
porque ao substituir w=0\] os termos com \(-1\cdot w desaparecem. Agora vamos resolver esse sistema reduzido passo a passo.]
Passo 3
A partir das duas primeiras equações obtidas com w=0:
Então z=y=1. E x=2-2y=2-2\cdot1=0. Já tínhamos assumido w=0. Verificamos na quarta equação:
3x+4y+4z=3\cdot0+4\cdot1+4\cdot1=8,
que é exatamente o termo independente da quarta equação. Portanto a atribuição
\boxed{(x,y,z,w)=(0,1,1,0)}
é uma solução do sistema. Isso resolve (a) sem resolver o sistema completo: uma solução particular foi encontrada por escolha conveniente.
Passo 4
Agora parte (b): resolver efetivamente o sistema por eliminação de Gauss e encontrar a solução geral. Escrevemos a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}]:
A estratégia da eliminação de Gauss é usar operações elementares de linha (substituir uma linha pela soma dela com múltiplos de outra) para triangularizar a matriz dos coeficientes e então resolver por substituição.
Passo 5
Realizamos as operações de linha para zerar entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usando a primeira linha como pivô):
Isso é a matriz/ vetor-solução (conjunto de todas as soluções) do sistema original. Observação: escolhemos o parâmetro t igual a w para ficar claro.
Passo 7
Parte (c): sistema homogêneo associado é A\mathbf{v}=\mathbf{0}. Procedendo com a mesma eliminação (mas agora com termos independentes zero) obtemos as mesmas equações reduzidas, apenas com lado direito zero. Segue diretamente:
que é exatamente \mathbf{x}(t). Assim a verificação está completa: toda solução geral é a soma de uma solução particular com um vetor do espaço nulo de A. Isso é a demonstração do princípio geral: solução geral = solução particular + espaço das soluções do homogêneo.