Seja
a=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}
onde p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k} são primos distintos e os expoentes \alpha_{i} são naturais, 1 \leq i \leq k.
(a) Mostre que todos os divisores positivos b de a são da forma
b=p_{1}^{\beta_{1}} p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\beta_{k}}
em que 0 \leq \beta_{i} \leq \alpha_{i}, para todo 1 \leq i \leq k.
(b) Conclua que o número dos divisores positivos de a (incluindo 1 e a ) é dado por
\left(\alpha_{1}+1\right)\left(\alpha_{2}+1\right) \cdots\left(\alpha_{k}+1\right)
(c) Mostre que a é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os \beta_{i}, 1 \leq i \leq k, são pares.

Passo 1

O enunciado dá o inteiro positivo
a = p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}}
onde \,p_{1},p_{2},\ldots,p_{k}\, são primos distintos e cada \alpha_{i} é um número natural (inteiro \ge 1). O problema pede três coisas:
(a) Mostrar que todo divisor positivo b de a tem a forma
b = p_{1}^{\beta_{1}} p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\beta_{k}}
com 0 \le \beta_{i} \le \alpha_{i} para todo 1\le i\le k.
(b) Concluir que o número de divisores positivos de a (incluindo 1 e a) é
(\alpha_{1}+1)(\alpha_{2}+1)\cdots(\alpha_{k}+1).
(c) Mostrar que a é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os expoentes na fatoração primária são pares (ou seja, todos os \alpha_{i} são pares).
As informações relevantes que temos: a fatoração prima de a (os primos são distintos) e que queremos caracterizar todos os divisores positivos de a, contar quantos são e relacionar isso a serem quadrado perfeito.

Passo 2

Entender a ideia básica e uma ferramenta chave: a unicidade da fatoração prima (Teorema Fundamental da Aritmética). Esse teorema diz que todo inteiro >1 pode ser escrito como produto de primos de forma única, salvo a ordem dos fatores. Em termos práticos: se dois produtos de primos descrevem o mesmo número, então cada primo aparece com o mesmo expoente em ambos os produtos.
Agora mostro a direção fácil em (a): se escolhermos expoentes \beta_i com 0\le\beta_i\le\alpha_i e formarmos
b = p_{1}^{\beta_{1}} p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\beta_{k}},
então b divide a. Por quê? Porque podemos escrever o quociente
\frac{a}{b} = p_{1}^{\alpha_{1}-\beta_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}-\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}-\beta_{k}},
e como todos os \alpha_{i}-\beta_{i} são inteiros \ge 0, esse quociente é um inteiro positivo. Portanto b\mid a. Isso prova que qualquer produto com expoentes \beta_i nessa faixa é realmente um divisor de a.

Passo 3

Agora provamos a outra direção em (a): todo divisor positivo b de a deve ter a forma pedida. Seja b tal que b\mid a. Escreve-se a fatoração prima de b (pela unicidade):
b = q_{1}^{\gamma_{1}} q_{2}^{\gamma_{2}} \cdots q_{m}^{\gamma_{m}},
onde os q_j são primos distintos e \gamma_j\ge 1. Como b\mid a, cada primo q_j que aparece em b também deve dividir a. Mas os únicos primos que dividem a são \,p_{1},\dots,p_{k}\,. Logo cada q_j coincide com algum p_i. Podemos então reorganizar a escrita de b usando exatamente os primos p_{1},\dots,p_{k}, atribuindo expoente zero aos primos que não aparecem em b. Assim existem inteiros \beta_{i}\ge 0 tais que
b = p_{1}^{\beta_{1}} p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\beta_{k}}.
Finalmente, como b\mid a, a unicidade da fatoração força \beta_{i}\le\alpha_{i} para cada i (se algum \beta_{i}>\alpha_{i} então p_i^{\beta_i} não poderia dividir p_i^{\alpha_i}). Portanto 0\le\beta_{i}\le\alpha_{i} para todo i. Isso conclui (a).
Exemplo rápido e concreto para fixar: se a=2^{3}3^{2} então os divisores têm forma 2^{\beta_1}3^{\beta_2} com \beta_1\in\{0,1,2,3\} e \beta_2\in\{0,1,2\}. Por exemplo 2\cdot3^{2}=18 corresponde a (\beta_1,\beta_2)=(1,2) e claramente divide a.

Passo 4

Prova de (b) — contagem dos divisores. A partir da descrição em (a), cada divisor positivo b de a corresponde de maneira única a uma escolha de tupla (\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{k}) com 0\le\beta_{i}\le\alpha_{i}. Para cada índice i há precisamente \alpha_{i}+1 escolhas possíveis para \beta_{i} (os valores 0,1,2,\dots,\alpha_{i}). As escolhas para diferentes índices são independentes (escolher \beta_1 não restringe \beta_2, etc.). Pelo Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto), o número total de tuplas possíveis é
(\alpha_{1}+1)(\alpha_{2}+1)\cdots(\alpha_{k}+1).
Como há bijeção entre essas tuplas e os divisores positivos, esse produto é exatamente o número de divisores de a. Observações: a tupla toda zero (0,\dots,0) corresponde a b=1 e a tupla (\alpha_1,\dots,\alpha_k) corresponde a b=a, então 1 e a estão incluídos.

Passo 5

Prova de (c) — condição para a ser quadrado perfeito. Primeiro, definição: um inteiro a é quadrado perfeito se existe inteiro m tal que a=m^{2}.
(“Se”) Suponha que todos os expoentes \alpha_{i} sejam pares. Então escreva \alpha_{i}=2t_{i} com inteiros t_{i}\ge 0. Então
a = p_{1}^{2t_{1}} p_{2}^{2t_{2}} \cdots p_{k}^{2t_{k}} = \bigl(p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} \cdots p_{k}^{t_{k}}\bigr)^{2}.
Logo a é um quadrado perfeito (é o quadrado do inteiro m=p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} \cdots p_{k}^{t_{k}}).
(“Somente se”) Agora suponha que a é um quadrado perfeito, isto é existe m inteiro tal que a=m^{2}. Escreva a fatoração prima de m:
m = p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} \cdots p_{k}^{t_{k}}
(possivelmente alguns t_i são zero; se algum primo não aparece em m seu expoente é 0). Então
a = m^{2} = p_{1}^{2t_{1}} p_{2}^{2t_{2}} \cdots p_{k}^{2t_{k}}.
Pela unicidade da fatoração, os expoentes \alpha_{i} de a devem ser \alpha_{i}=2t_{i}, ou seja, pares. Portanto todos os \alpha_{i} são pares.
Conclusão: a é quadrado perfeito se, e somente se, todos os \alpha_{i} são pares. (Isto equivale também à versão em termos dos \beta_i dos divisores: o expoente de cada primo na raiz quadrada precisa ser inteiro.)

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: para resolver questões sobre divisores e quadrados perfeitos em prova, sempre escreva primeiro a fatoração prima do número. Depois trate cada primo separadamente (ex.: quantos expoentes possíveis para aquele primo) e use a regra do produto. Para quadrado perfeito, verifique se todos os expoentes são múltiplos de 2. Isso evita cálculos trabalhosos e torna a resposta direta e elegante. Você consegue!

Resposta

(a) Todo divisor positivo b de a é da forma b=p_{1}^{\beta_{1}} p_{2}^{\beta_{2}} \cdots p_{k}^{\beta_{k}} com 0\le\beta_{i}\le\alpha_{i} para todo i.
(b) O número de divisores positivos de a é (\alpha_{1}+1)(\alpha_{2}+1)\cdots(\alpha_{k}+1).
(c) a é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os \alpha_{i} são pares.

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