Seja
onde
são primos distintos e os expoentes
são naturais,
.
(a) Mostre que todos os divisores positivos
de
são da forma
em que
, para todo
.
(b) Conclua que o número dos divisores positivos de
(incluindo 1 e
) é dado por
(c) Mostre que
é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os
, são pares.
(a) Mostre que todos os divisores positivos
(b) Conclua que o número dos divisores positivos de
Passo 1
O enunciado dá o inteiro positivo
onde
são primos distintos e cada
é um número natural (inteiro
). O problema pede três coisas:
(a) Mostrar que todo divisor positivo
de
tem a forma
com
para todo
.
(b) Concluir que o número de divisores positivos de
(incluindo
e
) é
(c) Mostrar que
é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os expoentes na fatoração primária são pares (ou seja, todos os
são pares).
As informações relevantes que temos: a fatoração prima de
(os primos são distintos) e que queremos caracterizar todos os divisores positivos de
, contar quantos são e relacionar isso a serem quadrado perfeito.
Passo 2
Entender a ideia básica e uma ferramenta chave: a unicidade da fatoração prima (Teorema Fundamental da Aritmética). Esse teorema diz que todo inteiro
pode ser escrito como produto de primos de forma única, salvo a ordem dos fatores. Em termos práticos: se dois produtos de primos descrevem o mesmo número, então cada primo aparece com o mesmo expoente em ambos os produtos.
Agora mostro a direção fácil em (a): se escolhermos expoentes
com
e formarmos
então
divide
. Por quê? Porque podemos escrever o quociente
e como todos os
são inteiros
, esse quociente é um inteiro positivo. Portanto
. Isso prova que qualquer produto com expoentes
nessa faixa é realmente um divisor de
.
Passo 3
Agora provamos a outra direção em (a): todo divisor positivo
de
deve ter a forma pedida. Seja
tal que
. Escreve-se a fatoração prima de
(pela unicidade):
onde os
são primos distintos e
. Como
, cada primo
que aparece em
também deve dividir
. Mas os únicos primos que dividem
são
. Logo cada
coincide com algum
. Podemos então reorganizar a escrita de
usando exatamente os primos
, atribuindo expoente zero aos primos que não aparecem em
. Assim existem inteiros
tais que
Finalmente, como
, a unicidade da fatoração força
para cada
(se algum
então
não poderia dividir
). Portanto
para todo
. Isso conclui (a).
Exemplo rápido e concreto para fixar: se
então os divisores têm forma
com
e
. Por exemplo
corresponde a
e claramente divide
.
Passo 4
Prova de (b) — contagem dos divisores. A partir da descrição em (a), cada divisor positivo
de
corresponde de maneira única a uma escolha de tupla
com
. Para cada índice
há precisamente
escolhas possíveis para
(os valores
). As escolhas para diferentes índices são independentes (escolher
não restringe
, etc.). Pelo Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto), o número total de tuplas possíveis é
Como há bijeção entre essas tuplas e os divisores positivos, esse produto é exatamente o número de divisores de
. Observações: a tupla toda zero
corresponde a
e a tupla
corresponde a
, então
e
estão incluídos.
Passo 5
Prova de (c) — condição para
ser quadrado perfeito. Primeiro, definição: um inteiro
é quadrado perfeito se existe inteiro
tal que
.
(“Se”) Suponha que todos os expoentes
sejam pares. Então escreva
com inteiros
. Então
Logo
é um quadrado perfeito (é o quadrado do inteiro
).
(“Somente se”) Agora suponha que
é um quadrado perfeito, isto é existe
inteiro tal que
. Escreva a fatoração prima de
:
(possivelmente alguns
são zero; se algum primo não aparece em
seu expoente é
). Então
Pela unicidade da fatoração, os expoentes
de
devem ser
, ou seja, pares. Portanto todos os
são pares.
Conclusão:
é quadrado perfeito se, e somente se, todos os
são pares. (Isto equivale também à versão em termos dos
dos divisores: o expoente de cada primo na raiz quadrada precisa ser inteiro.)
Passo 6
Resumo didático e dica para prova: para resolver questões sobre divisores e quadrados perfeitos em prova, sempre escreva primeiro a fatoração prima do número. Depois trate cada primo separadamente (ex.: quantos expoentes possíveis para aquele primo) e use a regra do produto. Para quadrado perfeito, verifique se todos os expoentes são múltiplos de
. Isso evita cálculos trabalhosos e torna a resposta direta e elegante. Você consegue!
Resposta
(a) Todo divisor positivo
de
é da forma
com
para todo
.
(b) O número de divisores positivos de é
.
(c) é um quadrado perfeito se, e somente se, todos os
são pares.
(b) O número de divisores positivos de
(c)