\left{
\begin{array}{l}y^{(4)}-y=g(t) \\ y(0)=y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=y^{(3)}(0)=0\end{array}
\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de 4ª ordem com forçamento
y^{(4)}-y=g(t)
sujeita às condições iniciais
y(0)=y'(0)=y''(0)=y^{(3)}(0)=0.
O conteúdo aqui é resolver por transformada de Laplace e usar convolução para escrever a solução em termos de g(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja \mathcal L\{y\}(s)=Y(s) e \mathcal L\{g\}(s)=G(s). Pela propriedade
\mathcal L\{y^{(4)}\}(s)=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0)
e pelas ICC nulas obtemos
s^4Y(s)-Y(s)=G(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\bigl(s^4-1\bigr)=G(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{G(s)}{s^4-1}.

Passo 3

Para inverter a transformada precisamos da fatoração em frações parciais de
\frac{1}{s^4-1}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+1}.
Multiplicando por s^4-1 e igualando coeficientes, resolve-se o sistema e encontra-se
A=\tfrac14,\quad B=-\tfrac14,\quad C=0,\quad D=-\tfrac12.
Logo
\frac{1}{s^4-1} =\frac{1/4}{s-1}-\frac{1/4}{s+1}-\frac{1/2}{s^2+1}.

Passo 4

Invertendo termo a termo:
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1/4}{s-1}\Bigr\}= \tfrac14e^t, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1/4}{s+1}\Bigr\}=-\tfrac14e^{-t}, \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1/2}{s^2+1}\Bigr\}=-\tfrac12\sin t.
Portanto a resposta ao impulso (função de Green) é
h(t)=\frac12\bigl(\operatorname{sinh} t-\sin t\bigr), \quad t\ge0.

Passo 5

Pela propriedade da convolução, a solução geral do problema é
y(t)=(h*g)(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,g(\tau)\,\mathrm d\tau =\frac12\int_{0}^{t}\bigl[\operatorname{sinh}(t-\tau)-\sin(t-\tau)\bigr]\,g(\tau)\,\mathrm d\tau.

Resposta

y(t) =\frac12\int_{0}^{t}\bigl[\operatorname{sinh}(t-\tau)-\sin(t-\tau)\bigr]\,g(\tau)\,\mathrm d\tau.

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