Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
  1. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{e^{t}}{t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x} + \mathbf{f}(t),
onde
A = \begin{pmatrix}2 & -1\\[6pt]3 & -2\end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix}e^{t}\\[3pt]t\end{pmatrix}.
O método consiste em (1) achar a solução geral do sistema homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x} e (2) encontrar uma solução particular \mathbf{x}_p tal que \mathbf{x}_p' - A\,\mathbf{x}_p = \mathbf{f}(t). A solução geral será \mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_h(t)+\mathbf{x}_p(t).]

Passo 2

Para o homogêneo fazemos \det(A-\lambda I)=0.
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[3pt]3 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(-2-\lambda)+3 =\lambda^2-1=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm1.
Para \lambda=1, o autovetor satisfaz (A-I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]3 & -3\end{pmatrix}v=0 \;\Longrightarrow\;v_1=\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1,
(A+I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}3 & -1\\[3pt]3 & -1\end{pmatrix}v=0 \;\Longrightarrow\; v_2=\begin{pmatrix}1\\[3pt]3\end{pmatrix}.
Logo a solução homogênea é
\mathbf{x}_h(t) =C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Procuramos solução particular da parte exponencial \mathbf{f}_1(t)=(e^t,0)^T. Como e^t corresponde a \lambda=1, usamos o ansatz
\mathbf{x}_{p1}(t) =(P\,t + Q)\,e^t,
com P,Q\in\mathbb{R}^2 constantes. Então
\mathbf{x}_{p1}' - A\,\mathbf{x}_{p1} =\bigl[(P-A\,P)\,t + (P+Q-A\,Q)\bigr]e^t \;\overset{!}{=}\;\begin{pmatrix}1\\[3pt]0\end{pmatrix}e^t.
Isto gera o sistema
(P - A\,P)=0,\quad P + (I-A)\,Q = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação P é autovetor de \lambda=1, ou seja P=\alpha\,(1,1)^T. Da segunda, com I-A=\begin{pmatrix}-1&1\\\ -3&3\end{pmatrix}, obtém-se \alpha=\tfrac32. Escolhendo uma solução para Q leva a
P=\begin{pmatrix}3/2\\[3pt]3/2\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}0\\[3pt]-1/2\end{pmatrix},
logo
\mathbf{x}_{p1}(t) =e^t\Bigl(\tfrac32\,t\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\\ -1/2\end{pmatrix}\Bigr).]

Passo 4

Agora a parte polinomial \mathbf{f}_2(t)=(0,t)^T. Usamos
\mathbf{x}_{p2}(t) =\begin{pmatrix}a\,t+b\\[3pt]c\,t+d\end{pmatrix}.
Então
\mathbf{x}_{p2}' - A\,\mathbf{x}_{p2} = \begin{pmatrix}a\\[3pt]c\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}(2a-c)\,t+(2b-d)\\[4pt](3a-2c)\,t+(3b-2d)\end{pmatrix} \;\overset{!}{=}\;\begin{pmatrix}0\t\end{pmatrix}.
Igualando coeficientes de t e constantes vem
2a-c=0,\quad a-2b+d=0,\quad 3a-2c=-1,\quad c-3b+2d=0.
Resolve-se a=1, c=2, b=0, d=-1. Assim
\mathbf{x}_{p2}(t) =\begin{pmatrix}t\\[3pt]2\,t-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral é
\mathbf{x}(t) =\mathbf{x}_h(t)+\mathbf{x}_{p1}(t)+\mathbf{x}_{p2}(t).

Resposta

\boxed{ \mathbf{x}(t) = C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + e^t\Bigl(\tfrac32\,t\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\\ -1/2\end{pmatrix}\Bigr) +\begin{pmatrix}t\\\ 2\,t-1\end{pmatrix}. }

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