Demonstre as seguintes propriedades da convolução a partir de sua definição:
onde
é a função nula.
Passo 1
O enunciado pede que a gente prove, usando a definição de convolução, que para toda função
e para a função nula
vale
Lembrando que a definição de convolução é
Passo 2
Vamos calcular
diretamente pela definição. Substituindo
em
note que
para todo
. Então o integrando é zero e
Logo
para todo
, ou seja
.
Passo 3
Agora repetimos para
. Pela definição,
Como
para todo
, o integrando também é zero e
Assim
.
Resposta
Em ambos os casos a integral fica com integrando nulo, logo