Demonstre as seguintes propriedades da convolução a partir de sua definição:
f * 0=0 * f=0 onde 0(t)=0 é a função nula.

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove, usando a definição de convolução, que para toda função f e para a função nula 0(t)=0 vale
f * 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0 * f = 0.
Lembrando que a definição de convolução é
(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Vamos calcular (f * 0)(t) diretamente pela definição. Substituindo g(t)=0 em
(f * 0)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,0\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau
note que 0\bigl(t-\tau\bigr)=0 para todo t,\tau. Então o integrando é zero e
(f * 0)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\cdot 0 \,d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} 0 \,d\tau = 0.
Logo (f*0)(t)=0 para todo t, ou seja f*0=0.

Passo 3

Agora repetimos para (0 * f)(t). Pela definição,
(0 * f)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} 0(\tau)\,f\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.
Como 0(\tau)=0 para todo \tau, o integrando também é zero e
(0 * f)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} 0\cdot f(t-\tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} 0\,d\tau = 0.
Assim 0*f=0.

Resposta

Em ambos os casos a integral fica com integrando nulo, logo
f * 0 = 0 \quad\text{e}\quad 0 * f = 0.

Exercícios relacionados