Questão 6. Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\), em que \(f(t)= \begin{cases}0, & \text { para } 0 \leq t<3 \pi \\\\ 1, & \text { para } t \geq 3 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = f(t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1,
onde
f(t)= \begin{cases} 0, & 0 \le t < 3\pi,\\\\ 1, & t \ge 3\pi. \end{cases}
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com forçamento em degrau. Vamos usar a solução via integral de convolução (ou fórmula de Duhamel).

Passo 2

A solução geral do IVP é
y(t) \;=\; y_h(t)\;+\;\int_{0}^{t}\sin\bigl(t-s\bigr)\,f(s)\,ds,
onde y_h é a solução do homogêneo
y''+y=0, \quad y(0)=0,\;y'(0)=1.
Resolvend o homogêneo, obtemos
y_h(t)=\sin t.

Passo 3

Para 0\le t<3\pi, temos f(s)=0 em todo o intervalo de integração, logo
y(t) =\sin t \;+\;\int_{0}^{t}\sin(t-s)\cdot0\,ds =\sin t.

Passo 4

Para t\ge3\pi, a função f vale zero até s=3\pi e vale 1 para s\ge3\pi. Então
\int_{0}^{t}\sin(t-s)\,f(s)\,ds =\int_{3\pi}^{t}\sin(t-s)\,ds.
Fazendo u=t-s, quando s=3\pi temos u=t-3\pi e quando s=t temos u=0. Assim
\int_{3\pi}^{t}\sin(t-s)\,ds =\int_{0}^{\,t-3\pi}\sin u\,du =1-\cos\bigl(t-3\pi\bigr).
Logo, para t\ge3\pi,
y(t) =\sin t \;+\;1-\cos(t-3\pi).
Como \cos(t-3\pi)=-\cos t, isso se simplifica para
y(t)=\sin t +1 +\cos t.

Resposta

Para 0\le t<3\pi:
y(t)=\sin t.
Para t\ge3\pi:
y(t)=\sin t +\cos t +1.

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