\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-y=2 t e^{2 t} \y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede:
  • Equação diferencial: y' - y = 2t e^{2t}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t (ou em um intervalo onde tudo faz sentido) e que verifica a condição inicial dada.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão usada para resolver essas equações: escrever como y' + P(t)\,y = Q(t).
Comparando com a equação dada obtemos
y' - y = 2t e^{2t}\quad\Longrightarrow\quad y' + (-1)\,y = 2t e^{2t}.
Logo:
  • P(t) = -1 (coeficiente que multiplica y),
  • Q(t) = 2t e^{2t} (lado direito da equação).
    Explicando rápido: essa forma é útil porque existe um fator multiplicativo (o chamado fator integrante) que transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto, facilitando a integração.

Passo 3

Definir e calcular o fator integrante \mu(t). A definição é
\mu(t)=e^{\displaystyle\int P(t)\,dt}.
Aqui P(t)=-1, então
\mu(t)=e^{\displaystyle\int (-1)\,dt}=e^{-t}.
Breve explicação do porquê: multiplicando a equação original por \mu(t) queremos que o lado esquerdo se torne \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big). Isso acontece exatamente quando \mu é escolhido assim.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{-t}. Fazendo isso obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2t e^{2t} e^{-t}.
Simplificando o lado direito:
2t e^{2t} e^{-t} = 2t e^{t}.
Agora observar a identidade do lado esquerdo: a derivada do produto \mu(t)y(t) é
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big)=e^{-t}y' - e^{-t}y.
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big)=2t e^{t}.

Passo 5

Integração em ambos os lados em relação a t. A partir de
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big)=2t e^{t},
integramos:
e^{-t}y=\int 2t e^{t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int 2t e^{t}\,dt.

Passo 6

Calcular \int 2t e^{t}\,dt por partes. Primeiro escrevemos
\int 2t e^{t}\,dt = 2\int t e^{t}\,dt.
Para \int t e^{t}\,dt usamos integração por partes: tomar u=t e dv=e^{t}dt. Então du=dt e v=e^{t}. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C_1 = (t-1)e^{t} + C_1.
Multiplicando por 2,
\int 2t e^{t}\,dt = 2(t-1)e^{t} + C,
onde absorvemos constantes em uma única constante C.

Passo 7

Voltar para a expressão encontrada em \#Passo 5:
e^{-t}y = 2(t-1)e^{t} + C.
Agora isolar y multiplicando ambos os lados por e^{t}:
y = 2(t-1)e^{2t} + C e^{t}.
Essa é a solução geral (com constante C) da equação diferencial.

Passo 8

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=1. Substituir t=0 na solução geral:
y(0)=2(0-1)e^{0} + C e^{0} = -2 + C.
Como y(0)=1, temos
-2 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Passo 9

Substituir C=3 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(t)=2(t-1)e^{2t} + 3 e^{t}.
Podemos escrever de forma expandida se preferir:
y(t) = (2t-2)e^{2t} + 3e^{t}.

Resposta

y(t)=2(t-1)e^{2t}+3e^{t}

Exercícios relacionados