Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(ou em um intervalo onde tudo faz sentido) e que verifica a condição inicial dada.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão usada para resolver essas equações: escrever como
Comparando com a equação dada obtemos
Logo:
-
(coeficiente que multiplica ), -
(lado direito da equação).
Explicando rápido: essa forma é útil porque existe um fator multiplicativo (o chamado fator integrante) que transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto, facilitando a integração.
Passo 3
Definir e calcular o fator integrante
. A definição é
Aqui
, então
Breve explicação do porquê: multiplicando a equação original por
queremos que o lado esquerdo se torne
. Isso acontece exatamente quando
é escolhido assim.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Simplificando o lado direito:
Agora observar a identidade do lado esquerdo: a derivada do produto
é
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
Passo 5
Integração em ambos os lados em relação a
. A partir de
integramos:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 6
Calcular
por partes. Primeiro escrevemos
Para
usamos integração por partes: tomar
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
Multiplicando por
,
onde absorvemos constantes em uma única constante
.
Passo 7
Voltar para a expressão encontrada em
Passo 5:
Agora isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a solução geral (com constante
) da equação diferencial.
Passo 8
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituir
na solução geral:
Como
, temos
Passo 9
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Podemos escrever de forma expandida se preferir: