Resolva as inequações a seguir pelo método que julgar conveniente:
\frac{-4}{x}+\frac{3}{2} \geq-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\frac{-4}{x}+\frac{3}{2}\geq -\frac{1}{x}
Pedidos implícitos e informações relevantes:
  • Encontrar todos os valores de x (reais) que satisfazem a inequação.
  • Observação importante: a expressão contém \dfrac{1}{x}, logo x\neq 0 (domínio).

Passo 2

Primeiro vamos agrupar termos semelhantes (colocar as frações que envolvem x juntas). Subtraindo -\dfrac{1}{x} do lado direito para o lado esquerdo obtemos
-\frac{4}{x}+\frac{1}{x}+\frac{3}{2}\geq 0.
Somando -\dfrac{4}{x} com \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{x}. Assim a inequação fica
-\frac{3}{x}+\frac{3}{2}\geq 0.

Passo 3

Isolando o termo com x, subtraímos \dfrac{3}{2} de ambos os lados:
-\frac{3}{x}\geq -\frac{3}{2}.
Agora dividimos ambos os lados por -3. Atenção: dividir por um número negativo inverte o sentido da desigualdade. Dividindo por -3 obtemos
\frac{1}{x}\leq \frac{1}{2}.

Passo 4

Transformar \dfrac{1}{x}\leq \dfrac{1}{2} numa única fração facilita a análise. Subtraindo \dfrac{1}{2} de ambos os lados:
\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\leq 0.
Colocando em denominador comum:
\frac{2-x}{2x}\leq 0.
Como o fator 2 no denominador é positivo, podemos estudar o sinal de \dfrac{2-x}{x} que tem os mesmos zeros e sinais importantes. Os pontos críticos (onde o numerador ou denominador são zero) são:
  • x=0 (não está no domínio, é ponto de descontinuidade);
  • x=2 (anula o numerador).

Passo 5

Fazemos um quadro de sinais para a função g(x)=\dfrac{2-x}{2x} considerando os intervalos determinados pelos pontos críticos x=0 e x=2.
Análise por intervalos:
  • Para x<0: numerador 2-x>0, denominador 2x<0 → fração negativa. Logo g(x)<0 e a desigualdade g(x)\leq0 é satisfeita.
  • Para 0<x<2: numerador 2-x>0, denominador 2x>0 → fração positiva. Logo g(x)>0 e a desigualdade NÃO é satisfeita.
  • Para x=2: numerador 2-x=0 → fração igual a 0. Como a desigualdade é \leq0, x=2 deve ser incluído.
  • Para x>2: numerador 2-x<0, denominador 2x>0 → fração negativa. Logo g(x)<0 e a desigualdade é satisfeita.
Lembrete: x=0 não pode ser usado pois a expressão original é indefinida em x=0.

Passo 6

Juntando os intervalos onde a desigualdade vale (lembrando de excluir x=0 e incluir x=2):
  • todos os x<0;
  • todos os x\geq 2.
Ou seja, a solução é o conjunto (-\infty,0)\cup[2,\infty).

Resposta

\displaystyle (-\infty,0)\cup[2,\infty)

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