Resolva as inequações a seguir pelo método que julgar conveniente:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
Pedidos implícitos e informações relevantes:
- Encontrar todos os valores de
(reais) que satisfazem a inequação. - Observação importante: a expressão contém
, logo (domínio).
Passo 2
Primeiro vamos agrupar termos semelhantes (colocar as frações que envolvem
juntas). Subtraindo
do lado direito para o lado esquerdo obtemos
Somando
com
dá
. Assim a inequação fica
Passo 3
Isolando o termo com
, subtraímos
de ambos os lados:
Agora dividimos ambos os lados por
. Atenção: dividir por um número negativo inverte o sentido da desigualdade. Dividindo por
obtemos
Passo 4
Transformar
numa única fração facilita a análise. Subtraindo
de ambos os lados:
Colocando em denominador comum:
Como o fator
no denominador é positivo, podemos estudar o sinal de
que tem os mesmos zeros e sinais importantes. Os pontos críticos (onde o numerador ou denominador são zero) são:
-
(não está no domínio, é ponto de descontinuidade); -
(anula o numerador).
Passo 5
Fazemos um quadro de sinais para a função
considerando os intervalos determinados pelos pontos críticos
e
.
Análise por intervalos:
- Para
: numerador , denominador → fração negativa. Logo e a desigualdade é satisfeita. - Para
: numerador , denominador → fração positiva. Logo e a desigualdade NÃO é satisfeita. - Para
: numerador → fração igual a . Como a desigualdade é , deve ser incluído. - Para
: numerador , denominador → fração negativa. Logo e a desigualdade é satisfeita.
Lembrete:
não pode ser usado pois a expressão original é indefinida em
.
Passo 6
Juntando os intervalos onde a desigualdade vale (lembrando de excluir
e incluir
):
- todos os
; - todos os
.
Ou seja, a solução é o conjunto
.