Resolva as inequações a seguir pelo método que julgar conveniente:
\frac{-2 x^{2}+16 x-26}{10-2 x} \leq-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{-2 x^{2}+16 x-26}{10-2 x} \leq -2.
Informações e objetivos claros:
  • A expressão é uma fração racional; o denominador 10-2x não pode ser zero, logo x \neq 5.
  • A tarefa é encontrar todos os valores de x (conjunto solução) que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos colocar tudo num único lado para transformar a inequação numa única fração e então estudar o sinal dessa fração. Subtraindo -2 dos dois lados:
\frac{-2 x^{2}+16 x-26}{10-2 x} + 2 \le 0.
Colocando na mesma fração (mesmo denominador 10-2x):
\frac{-2 x^{2}+16 x-26 + 2(10-2x)}{10-2x} \le 0.

Passo 3

Calcular o numerador combinado:
-2 x^{2}+16 x-26 + 20 -4x = -2x^{2}+12x-6.
Fatorando -2 em evidência:
-2x^{2}+12x-6 = -2\bigl(x^{2}-6x+3\bigr).
Também fatoramos 2 no denominador: 10-2x = 2(5-x). Assim a fração fica
\frac{-2\bigl(x^{2}-6x+3\bigr)}{2(5-x)} = -\frac{x^{2}-6x+3}{5-x}.
Portanto a inequação original é equivalente a
-\frac{x^{2}-6x+3}{5-x} \le 0.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por -1 (ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sinal) obtemos uma forma mais conveniente:
\frac{x^{2}-6x+3}{5-x} \ge 0.
Lembrando sempre que x\neq5.

Passo 5

Estudamos o numerador e o denominador separadamente para montar o quadro de sinais.
Numerador: resolver x^{2}-6x+3=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot3 = 36-12 = 24.
As raízes são
x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}.
Denominador: zera em 5-x=0\Rightarrow x=5.
Assim os pontos críticos são
x = 3-\sqrt{6},\quad x=5,\quad x=3+\sqrt{6}.

Passo 6

Agora fazemos análise de sinais por intervalos determinados por esses pontos. Observações úteis:
  • O numerador x^{2}-6x+3 é um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo, logo:
    • é positivo para x<3-\sqrt{6},
    • é negativo para 3-\sqrt{6}<x<3+\sqrt{6},
    • é positivo para x>3+\sqrt{6}.
  • O denominador 5-x é positivo quando x<5 e negativo quando x>5.
Juntando os sinais em cada intervalo:
  1. Para x<3-\sqrt{6}: numerador positivo, denominador positivo \Rightarrow fração positiva \Rightarrow satisfaz \ge 0. Em x=3-\sqrt{6} a fração vale 0 (numerador zero), que também satisfaz a desigualdade (permitido).
  2. Para 3-\sqrt{6}<x<5: numerador negativo, denominador positivo \Rightarrow fração negativa \Rightarrow NÃO satisfaz.
  3. Para 5<x<3+\sqrt{6}: numerador negativo, denominador negativo \Rightarrow fração positiva \Rightarrow satisfaz. Note que x=5 está fora do domínio e portanto não pode ser incluído.
  4. Para x>3+\sqrt{6}: numerador positivo, denominador negativo \Rightarrow fração negativa \Rightarrow NÃO satisfaz. Em x=3+\sqrt{6} a fração vale 0 (numerador zero), que satisfaz a desigualdade.

Passo 7

Juntando os intervalos onde a desigualdade é satisfeita e lembrando que x=5 é proibido, obtemos o conjunto solução:
(-\infty,\;3-\sqrt{6}] \;\cup\; (5,\;3+\sqrt{6}].
Força aí — a solução ficou numa forma bonita com radicais; se quiser eu faço um gráfico de sinais à mão pra você treinar antes da prova.

Resposta

(-\infty,\;3-\sqrt{6}] \cup (5,\;3+\sqrt{6}]

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