Resolva as inequações a seguir pelo método que julgar conveniente:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações e objetivos claros:
- A expressão é uma fração racional; o denominador
não pode ser zero, logo . - A tarefa é encontrar todos os valores de
(conjunto solução) que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos colocar tudo num único lado para transformar a inequação numa única fração e então estudar o sinal dessa fração. Subtraindo
dos dois lados:
Colocando na mesma fração (mesmo denominador
):
Passo 3
Calcular o numerador combinado:
Fatorando
em evidência:
Também fatoramos
no denominador:
. Assim a fração fica
Portanto a inequação original é equivalente a
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
(ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sinal) obtemos uma forma mais conveniente:
Lembrando sempre que
.
Passo 5
Estudamos o numerador e o denominador separadamente para montar o quadro de sinais.
Numerador: resolver
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
Denominador: zera em
.
Assim os pontos críticos são
Passo 6
Agora fazemos análise de sinais por intervalos determinados por esses pontos. Observações úteis:
- O numerador
é um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo, logo: - é positivo para
, - é negativo para
, - é positivo para
.
- é positivo para
- O denominador
é positivo quando e negativo quando .
Juntando os sinais em cada intervalo:
-
Para
: numerador positivo, denominador positivo fração positiva satisfaz . Em a fração vale (numerador zero), que também satisfaz a desigualdade (permitido). -
Para
: numerador negativo, denominador positivo fração negativa NÃO satisfaz. -
Para
: numerador negativo, denominador negativo fração positiva satisfaz. Note que está fora do domínio e portanto não pode ser incluído. -
Para
: numerador positivo, denominador negativo fração negativa NÃO satisfaz. Em a fração vale (numerador zero), que satisfaz a desigualdade.
Passo 7
Juntando os intervalos onde a desigualdade é satisfeita e lembrando que
é proibido, obtemos o conjunto solução:
Força aí — a solução ficou numa forma bonita com radicais; se quiser eu faço um gráfico de sinais à mão pra você treinar antes da prova.