\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}=5 e^{-2 t} \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 9y' = 5e^{-2t},
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2.
Para resolver vamos usar método de coeficientes indeterminados: primeiro obtemos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e, por fim, ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 9y' = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 9r = r(r-9)=0,
cujas raízes são r=0 e r=9. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 + C_2 e^{9t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p a 5e^{-2t}, tentamos
y_p(t) = A e^{-2t}.
Então
y_p' = -2A e^{-2t},\quad y_p'' = 4A e^{-2t},
e substituindo na EDO obtemos
4A e^{-2t} -9(-2A e^{-2t}) = (4A+18A)e^{-2t} =22A e^{-2t} =5e^{-2t}.
Logo 22A=5 e
A = \frac{5}{22},
ou seja
y_p(t) = \frac{5}{22}e^{-2t}.

Passo 4

A solução geral da não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 + C_2 e^{9t} + \frac{5}{22}e^{-2t}.
Derivando,
y'(t) = 0 + 9C_2 e^{9t} -2\cdot\frac{5}{22}e^{-2t} =9C_2 e^{9t} - \frac{10}{22}e^{-2t} =9C_2 e^{9t} - \frac{5}{11}e^{-2t}.

Passo 5

Aplicando t=0:
  1. y(0)=C_1 +C_2 +\tfrac{5}{22}=1
    \implies C_1 +C_2 =1 - \tfrac{5}{22} = \tfrac{17}{22}.
  2. y'(0)=9C_2 - \tfrac{5}{11}=2
    \implies 9C_2 =2 + \tfrac{5}{11} = \tfrac{27}{11}
    \implies C_2 = \frac{27}{11\cdot 9} = \frac{3}{11}.
    Então
C_1 = \frac{17}{22} - \frac{3}{11} = \frac{17}{22} - \frac{6}{22} = \frac{11}{22} = \frac12.

Resposta

A solução do problema é
\boxed{y(t) = \frac12 + \frac{3}{11}e^{9t} + \frac{5}{22}e^{-2t}.}

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