(a) Seja f(x, y)=x-2 y e considere uma subdivisão do retângulo R=[0,2] \times[0,2] em 16 retângulos menores, como no Exercício 17. Tome ( x_{k}^{*}, y_{k}^{*} ) como sendo o centro do k-ésimo retângulo e aproxime a integral dupla de f em R pela soma de Riemann resultante.
(b) Compare o resultado de (a) com o valor exato da integral.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral dupla de f(x,y)=x-2y sobre o retângulo R=[0,2]\times[0,2] usando uma soma de Riemann com 16 sub-retângulos iguais e pontos amostragem nos centros, e em seguida comparar com o valor exato da integral. O conteúdo é aproximação de integrais duplas por soma de Riemann e cálculo exato por integração iterada.

Passo 2

Dividimos cada lado de R em 4 partes iguais, de modo que cada sub-retângulo tem largura e altura iguais a
\Delta x = \frac{2-0}{4} = \tfrac12,\qquad \Delta y = \frac{2-0}{4} = \tfrac12
e, portanto, a área de cada sub-retângulo é
\Delta A = \Delta x\,\Delta y = \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac14.
Os pontos centrais são
x_i^* = \bigl(i-\tfrac12\bigr)\tfrac12,\quad y_j^* = \bigl(j-\tfrac12\bigr)\tfrac12,
para i,j=1,2,3,4, ou seja (x_i^*,y_j^*)\in\{0,25,0,75,1,25,1,75\}^2.

Passo 3

Calculamos a soma dos valores de f nesses 16 centros:
\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}f(x_i^*,y_j^*) =\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}\bigl(x_i^*-2y_j^*\bigr) =\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}x_i^* \;-\;2\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}y_j^*.
Como \sum_{i=1}^{4}x_i^*=0,25+0,75+1,25+1,75=4 e o mesmo vale para \sum_{j=1}^{4}y_j^*=4, temos
\sum_{i,j}f(x_i^*,y_j^*)=4\cdot4 \;-\;2\cdot(4\cdot4)=16-32=-16.

Passo 4

A aproximação pela soma de Riemann é
S = \sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta A =(-16)\cdot\tfrac14=-4.

Passo 5

Agora calculamos a integral exata por integração iterada:
\iint_R (x-2y)\,dA =\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{2}(x-2y)\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\Bigl[x\,y - y^2\Bigr]_{y=0}^{y=2}\,dx =\int_{0}^{2}(2x - 4)\,dx =\Bigl[x^2 -4x\Bigr]_{0}^{2} =4 - 8 = -4.

Passo 6

Comparando, a soma de Riemann pelo centro deu -4, exatamente igual ao valor da integral exata -4. Isso ocorre porque f é afim em cada variável e a amostragem pelo ponto médio captura perfeitamente a média num retângulo.

Resposta

(a) A soma de Riemann pelo ponto médio vale -4.
(b) O valor exato da integral também é -4, logo coincidem.

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