\left\{\begin{array}{l}y^{i v}-k^{4} y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de quarta ordem com coeficientes constantes
y^{(4)} - k^4 y = 0
sujeita às condições y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=0 e y'''(0)=0. Vamos usar a equação característica para obter a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^4 - k^4 = 0
Daí seguem as raízes
r = \pm k,\quad r = \pm i k.

Passo 3

Para obter a solução real geral, combinamos as raízes em funções exponenciais reais, escrevendo
y(x) = A\operatorname{cosh}(kx) + B\operatorname{sinh}(kx) + C\cos(kx) + D\sin(kx).

Passo 4

Calculamos as derivadas em x=0 e igualamos às condições iniciais:
y(0)=A + C,
y'(0)=Bk + Dk,
y''(0)=Ak^2 - Ck^2,
y'''(0)=Bk^3 - Dk^3.
Impondo
A + C = 1,\quad Bk + Dk = 0,\quad Ak^2 - Ck^2 = 0,\quad Bk^3 - Dk^3 = 0
obtém-se um sistema para A,B,C,D.

Passo 5

Do terceiro equação vem A=C. Das segunda e quarta vem B+D=0 e B-D=0, logo B=D=0. Substituindo em A + C = 1 2A=1, então
A = C = \tfrac12,\quad B = D = 0.

Passo 6

Inserindo esses valores na solução geral, fica
y(x) = \tfrac12\operatorname{cosh}(kx) + 0\cdot\operatorname{sinh}(kx) + \tfrac12\cos(kx) + 0\cdot\sin(kx) = \frac{\operatorname{cosh}(kx) + \cos(kx)}{2}.

Resposta

\displaystyle y(x) = \frac{\operatorname{cosh}(kx) + \cos(kx)}{2}

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