$\left\{\begin{array}{l} y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.$

Calcule
$\mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}\right\}$

O enunciado pede a transformada de Laplace de

y''+3y'

, sabendo que as condições iniciais são

y(0)=1

y'(0)=-1

. Para isso, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas:

\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),

\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),

onde

Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}

Calcular

\mathcal{L}\{y''(t)\}

. Substituindo

y(0)=1

y'(0)=-1

na fórmula,

\mathcal{L}\{y''\} =s^2Y(s)-s\cdot1-(-1) =s^2Y(s)-s+1.

Calcular

\mathcal{L}\{y'(t)\}

. Substituindo

y(0)=1

\mathcal{L}\{y'\} =sY(s)-1.

Aplicar a linearidade para

\mathcal{L}\{y''+3y'\}

\mathcal{L}\{y''+3y'\} =\mathcal{L}\{y''\}+3\,\mathcal{L}\{y'\} =\bigl(s^2Y(s)-s+1\bigr)+3\bigl(sY(s)-1\bigr).

Agora agrupamos termos:

s^2Y(s)-s+1+3sY(s)-3 =(s^2+3s)\,Y(s)-(s+2).

\mathcal{L}\{y''+3y'\} =(s^2+3s)\,Y(s)-(s+2).

\left\{\begin{array}{l} y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right. Calcule \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}\right\}