Questão 2 - Para os itens abaixo: i) resolva as equações diferenciais usando a transformada de Laplace; ii) Verifique na função $y(t)$ se as condições iniciais foram satisfeitas; iii) Verifique se o teorema do valor final é aplicável. Se sim, aplique-o.
a)
\ddot{y}+4 \dot{y}+3 y=0, \quad y(0)=3, \dot{y}(0)=1
b)
\ddot{y}+9 y=0, \quad y(0)=0, \dot{y}(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com condições iniciais e pede:
i) resolver cada equação pelo método da transformada de Laplace;
ii) verificar em cada solução

y(t)

se as condições iniciais são satisfeitas;
iii) checar se o teorema do valor final se aplica e, em caso afirmativo, usá-lo.

Passo 2

Para o item (a)
Use as fórmulas

\mathcal{L}\{\ddot y\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-\dot y(0),

\mathcal{L}\{\dot y\}(s)=s\,Y(s)-y(0),

com

y(0)=3

\dot y(0)=1

. Aplicando à equação

\ddot y+4\dot y+3y=0

obtém-se

\bigl(s^2Y(s)-3s-1\bigr)+4\bigl(sY(s)-3\bigr)+3Y(s)=0

Y(s)\,(s^2+4s+3)=3s+1+12=3s+13

Y(s)=\frac{3s+13}{(s+1)(s+3)}.

Passo 3

Decomponha em frações parciais: suponha

\frac{3s+13}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}.

Temos

A+B=3,\quad 3A+B=13\quad\Longrightarrow\quad A=5,\;B=-2.

Logo

Y(s)=\frac{5}{s+1}-\frac{2}{s+3}

e invertendo a transformada de Laplace resulta

y(t)=5e^{-t}-2e^{-3t}.

Passo 4

Verifique as condições iniciais:

y(0)=5-2=3

confere;

\dot y(t)=-5e^{-t}+6e^{-3t}

dá

\dot y(0)=-5+6=1

, também confere.

Passo 5

Para aplicar o teorema do valor final, examinamos os polos de

sY(s)

sY(s)=\frac{s(3s+13)}{(s+1)(s+3)}=\frac{3s^2+13s}{(s+1)(s+3)},

que só possui polos em

s=-1

s=-3

(sem polos à direita nem polos não simples em

s=0

). Portanto o teorema vale e

\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to0}sY(s)=\frac{0}{(1)(3)}=0.

Passo 6

Para o item (b)
A equação é

\ddot y+9y=0,\quad y(0)=0,\;\dot y(0)=2.

Tomando Laplace,

s^2Y(s)-0-2+9Y(s)=0

Y(s)(s^2+9)=2

Y(s)=\frac{2}{s^2+9}.

Passo 7

Reconhecendo que

\mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\tfrac{3}{s^2+9}

, obtemos

Y(s)=\frac{2}{s^2+9}=\frac{2}{3}\,\frac{3}{s^2+9}

\Longrightarrow\quad y(t)=\frac{2}{3}\sin(3t).

Passo 8

Verifique as condições iniciais:

y(0)=0

ok;

\dot y(t)=\frac{2}{3}\cdot3\cos(3t)=2\cos(3t)

dá

\dot y(0)=2

, ok.

Passo 9

Para o teorema do valor final, vemos que

Y(s)

tem polos em

s=\pm 3i

, sobre o eixo imaginário, o que impede a aplicação do teorema (não há convergência de

y(t)

a um limite finito quando

t\to\infty

). Portanto o teorema não é aplicável aqui.

Resposta

(a)

y(t)=5e^{-t}-2e^{-3t}

. As condições iniciais estão satisfeitas e

\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=0

pelo teorema do valor final.
(b)

y(t)=\tfrac{2}{3}\sin(3t)

. As condições iniciais estão satisfeitas e o teorema do valor final não se aplica.