O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas e pede para encontrar os valores de x, y, z e w. As informações fornecidas são exatamente as quatro equações abaixo:
Vamos transformar o sistema numa matriz aumentada — isso junta os coeficientes e os termos independentes numa tabela, o que facilita aplicar operações para eliminar incógnitas. A matriz aumentada inicial é
Cada linha corresponde a uma equação; por exemplo a primeira linha corresponde a x+y+z+w=10.]
Passo 3
Explico rapidamente o que faremos: usaremos operações elementares por linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo) para obter uma matriz triangular superior. Depois faremos substituição regressiva (back-substitution). Agora elimino os elementos abaixo do pivô na coluna 1 (pivô é o elemento da primeira linha, primeira coluna, que é 1).
Agora foco na coluna 2. O pivô natural é o elemento da linha 2, coluna 2, que vale -3. Vou eliminar abaixo desse pivô (R_3 e R_4) usando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - \frac{\text{coef}_i}{\text{pivô}} R_{\text{pivô}}ôô.
Cálculos:
\begin{aligned} \text{fator para }R_3&=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3},\quad R_3\leftarrow R_3 -\left(-\dfrac{2}{3}\right)R_2 = R_3 + \dfrac{2}{3}R_2,\\[4pt] \text{fator para }R_4&=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3},\quad R_4\leftarrow R_4 - \dfrac{2}{3}R_2. \end{aligned}
Para evitar frações nos cálculos seguintes, posso multiplicar linhas por escalar não-nulo (isso mantém o sistema equivalente). Multiplico R_3 e R_4 por 3:
Multiplicar linhas por escalar é permitido e só facilita contas.]
Passo 5
Agora quero eliminar o coeficiente da coluna 3 na linha 4. É mais conveniente trocar R_3 e R_4 para ter um pivô simples -1 (menor número), então faço R_3\leftrightarrow R_4. A matriz vira