\left\{\begin{array}{l} x+y+z+w=10 \\\\ 2 x-y+z+2 w=8 \\\ x+3 y-z+w=6 \\\\ 3 x+y+2 z+w=14 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas e pede para encontrar os valores de x, y, z e w. As informações fornecidas são exatamente as quatro equações abaixo:
\begin{cases} x+y+z+w=10\\[4pt] 2x-y+z+2w=8\\[4pt] x+3y-z+w=6\\[4pt] 3x+y+2z+w=14 \end{cases}]

Passo 2

Vamos transformar o sistema numa matriz aumentada — isso junta os coeficientes e os termos independentes numa tabela, o que facilita aplicar operações para eliminar incógnitas. A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 1 & 14 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação; por exemplo a primeira linha corresponde a x+y+z+w=10.]

Passo 3

Explico rapidamente o que faremos: usaremos operações elementares por linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo) para obter uma matriz triangular superior. Depois faremos substituição regressiva (back-substitution). Agora elimino os elementos abaixo do pivô na coluna 1 (pivô é o elemento da primeira linha, primeira coluna, que é 1).
Aplicações:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - R_1\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_1 \end{aligned}
Faço as contas linha a linha:
  • R_2: [2,-1,1,2|8] - 2\cdot[1,1,1,1|10] = [0,-3,-1,0|-12].
  • R_3: [1,3,-1,1|6] - [1,1,1,1|10] = [0,2,-2,0|-4].
  • R_4: [3,1,2,1|14] - 3\cdot[1,1,1,1|10] = [0,-2,-1,-2|-16].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -12\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -2 & -16 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora foco na coluna 2. O pivô natural é o elemento da linha 2, coluna 2, que vale -3. Vou eliminar abaixo desse pivô ( R_3 e R_4) usando operações do tipo R_i \leftarrow R_i - \frac{\text{coef}_i}{\text{pivô}} R_{\text{pivô}}ôô.
Cálculos:
\begin{aligned} \text{fator para }R_3&=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3},\quad R_3\leftarrow R_3 -\left(-\dfrac{2}{3}\right)R_2 = R_3 + \dfrac{2}{3}R_2,\\[4pt] \text{fator para }R_4&=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3},\quad R_4\leftarrow R_4 - \dfrac{2}{3}R_2. \end{aligned}
Faço cada atualização:
  • R_3: [0,2,-2,0|-4] + \dfrac{2}{3}\cdot[0,-3,-1,0|-12] = [0,0,-\tfrac{8}{3},0|-12].
  • R_4: [0,-2,-1,-2|-16] - \dfrac{2}{3}\cdot[0,-3,-1,0|-12] = [0,0,-\tfrac{1}{3},-2|-8].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -12\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{8}{3} & 0 & -12\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{1}{3} & -2 & -8 \end{array}\right]
Para evitar frações nos cálculos seguintes, posso multiplicar linhas por escalar não-nulo (isso mantém o sistema equivalente). Multiplico R_3 e R_4 por 3:
R_3\leftarrow 3R_3,\qquad R_4\leftarrow 3R_4,
obtendo
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -12\\[4pt] 0 & 0 & -8 & 0 & -36\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -6 & -24 \end{array}\right]
Multiplicar linhas por escalar é permitido e só facilita contas.]

Passo 5

Agora quero eliminar o coeficiente da coluna 3 na linha 4. É mais conveniente trocar R_3 e R_4 para ter um pivô simples -1 (menor número), então faço R_3\leftrightarrow R_4. A matriz vira
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -12\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -6 & -24\\[4pt] 0 & 0 & -8 & 0 & -36 \end{array}\right]
Agora elimino o -8 na linha 4 com respeito ao pivô -1 na linha 3: faço R_4 \leftarrow R_4 - 8R_3.
Computando:
R_4 = [0,0,-8,0|-36] - 8\cdot[0,0,-1,-6|-24] = [0,0,0,48|156].
A matriz triangular obtida é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -12\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -6 & -24\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 48 & 156 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora faz-se substituição regressiva (back-substitution). Da última linha temos uma equação só com w:
48w = 156.
Logo
w = \dfrac{156}{48} = \dfrac{13}{4}.
Dou preferência a manter frações exatas para não perder precisão.

Passo 7

Substituo w na terceira linha para encontrar z. A terceira linha representa
-1\cdot z -6\cdot w = -24,
ou seja
-z - 6w = -24 \quad\Rightarrow\quad z = 24 - 6w.
Substituindo w=\dfrac{13}{4}:
z = 24 - 6\cdot\dfrac{13}{4} = 24 - \dfrac{78}{4} = \dfrac{48}{2} - \dfrac{39}{2} = \dfrac{9}{2}.
Então z = \dfrac{9}{2}.

Passo 8

Agora uso a segunda linha para calcular y. A segunda linha diz
-3y - z = -12 \quad\Rightarrow\quad -3y = -12 + z \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{12 - z}{3}.
Com z=\dfrac{9}{2}:
y = \dfrac{12 - \tfrac{9}{2}}{3} = \dfrac{\tfrac{24}{2}-\tfrac{9}{2}}{3} = \dfrac{\tfrac{15}{2}}{3} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}.
Logo y=\dfrac{5}{2}.

Passo 9

Finalmente uso a primeira equação para obter x. A primeira linha é
x + y + z + w = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 10 - y - z - w.
Substituindo y=\dfrac{5}{2}, z=\dfrac{9}{2}, w=\dfrac{13}{4}:
x = 10 - \dfrac{5}{2} - \dfrac{9}{2} - \dfrac{13}{4}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador 4:
10 = \dfrac{40}{4},\quad \dfrac{5}{2}=\dfrac{10}{4},\quad \dfrac{9}{2}=\dfrac{18}{4},
então
x = \dfrac{40}{4} - \dfrac{10}{4} - \dfrac{18}{4} - \dfrac{13}{4} = \dfrac{40-10-18-13}{4} = \dfrac{-1}{4}.
Portanto x = -\dfrac{1}{4}.

Resposta

x=-\dfrac{1}{4}\n y=\dfrac{5}{2}\n z=\dfrac{9}{2}\n w=\dfrac{13}{4}

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