Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
\int_{1}^{3} x^{3}+x^{2}+3 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{3} x^{3}+x^{2}+3x+4\;dx
usando métodos numéricos com 4 subintervalos e com 10 subintervalos. As informações relevantes são:
  • O integrando é a função \,f(x)=x^{3}+x^{2}+3x+4\,.
  • O intervalo de integração é [1,3].
  • Devemos aplicar métodos numéricos (compostos) para n=4 e para n=10.
  • Não há mais dados no enunciado; vou usar dois métodos numéricos clássicos e básicos: a Regra do Trapézio composta e a Regra de Simpson composta (explico por quê no Passo 2).

Passo 2

Por que escolhi Trapézio e Simpson?
  • O enunciado não especificou quais “métodos” usar. Pelo algoritmo que sigo, escolho métodos básicos da disciplina de integração numérica: a Regra do Trapézio composta (fácil e ensinada primeiro) e a Regra de Simpson composta (um pouco mais precisa e também básica).
  • Vou explicar cada método, mostrar a fórmula, o significado de cada símbolo e depois aplicar para n=4 e n=10.

Passo 3

Explicação e fórmula da Regra do Trapézio composta.
  • Dividimos o intervalo [a,b]=[1,3] em n subintervalos de largura
h=\frac{b-a}{n}=\frac{3-1}{n}=\frac{2}{n}.
  • Os nós são \,x_0=a, x_1=a+h, x_2=a+2h,\dots,x_n=b.
  • A Regra do Trapézio composta estima a integral por
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Big).
  • Aqui f(x_i) é o valor da função no nó x_i; h/2 é um fator que vem da área dos trapézios que aproximam a curva.
Agora aplico para n=4.

Passo 4

Regra do Trapézio composta com n=4.
  • Calculo h:
h=\frac{2}{4}=0{,}5.
  • Nós x_i:
x_0=1,\; x_1=1{,}5,\; x_2=2,\; x_3=2{,}5,\; x_4=3.
  • Agora avalio f(x)=x^{3}+x^{2}+3x+4 em cada nó:
\begin{aligned} f(1)&=1+1+3+4=9,\\\ f(1{,}5)&=\frac{27}{8}+\frac{9}{4}+\frac{9}{2}+4=\frac{113}{8}=14{,}125,\\\ f(2)&=8+4+6+4=22,\\\ f(2{,}5)&=\frac{125}{8}+\frac{25}{4}+\frac{15}{2}+4=\frac{267}{8}=33{,}375,\\\ f(3)&=27+9+9+4=49. \end{aligned}
  • Soma dos nós internos:
\sum_{i=1}^{3}f(x_i)=14{,}125+22+33{,}375=69{,}5.
  • Aplico a fórmula do trapézio:
T_4=\frac{0{,}5}{2}\Big(9+2\cdot69{,}5+49\Big)=0{,}25\cdot197=49{,}25.

Passo 5

Regra do Trapézio composta com n=10.
  • h=\dfrac{2}{10}=0{,}2.
  • Nós x_i=1{,}0,\;1{,}2,\;1{,}4,\;1{,}6,\;1{,}8,\;2{,}0,\;2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6,\;2{,}8,\;3{,}0.
  • Avalio f(x) em cada nó (cadeia de contas mostrada de forma direta):
\begin{aligned} f(1{,}0)&=9,\\\ f(1{,}2)&=1{,}728+1{,}44+3{,}6+4=10{,}768,\\\ f(1{,}4)&=2{,}744+1{,}96+4{,}2+4=12{,}904,\\\ f(1{,}6)&=4{,}096+2{,}56+4{,}8+4=15{,}456,\\\ f(1{,}8)&=5{,}832+3{,}24+5{,}4+4=18{,}472,\\\ f(2{,}0)&=22,\\\ f(2{,}2)&=10{,}648+4{,}84+6{,}6+4=26{,}088,\\\ f(2{,}4)&=13{,}824+5{,}76+7{,}2+4=30{,}784,\\\ f(2{,}6)&=17{,}576+6{,}76+7{,}8+4=36{,}136,\\\ f(2{,}8)&=21{,}952+7{,}84+8{,}4+4=42{,}192,\\\ f(3{,}0)&=49. \end{aligned}
  • Soma dos internos \sum_{i=1}^{9}f(x_i)=214{,}8 (soma direta dos valores acima).
  • Aplico a fórmula:
T_{10}=\frac{0{,}2}{2}\Big(9+2\cdot214{,}8+49\Big)=0{,}1\cdot487{,}6=48{,}76.

Passo 6

Explicação e fórmula da Regra de Simpson composta.
  • A Regra de Simpson composta exige n par e é baseada em aproximar o integrando por parábolas em pares de subintervalos.
  • A fórmula é
S_n=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par},\,1\le i\le n-1} f(x_i)+f(x_n)\Big).í
  • Aqui:
    • h é a largura de cada subintervalo (mesmo que antes),
    • a soma com coeficiente 4 pega os nós de índice ímpar,
    • a soma com coeficiente 2 pega os nós de índice par (exceto os extremos).
  • Propriedade importante: a Regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3 (cúbicos). Isso porque a regra é construída a partir de interpolação por polinômios de grau 2 em cada par de subintervalos, e, combinada, a regra composta acaba integrando exatamente até grau 3. Como nosso integrando é um cúbico, a Simpson composta dará o valor exato da integral.

Passo 7

Simpson composta com n=4.
  • Já tínhamos h=0{,}5 e os valores:
f(x_0)=9,\; f(x_1)=14{,}125,\; f(x_2)=22,\; f(x_3)=33{,}375,\; f(x_4)=49.
  • Soma dos índices ímpares: f(x_1)+f(x_3)=14{,}125+33{,}375=47{,}5.
  • Soma dos índices pares (internos): f(x_2)=22.
  • Aplico Simpson:
S_4=\frac{0{,}5}{3}\Big(9+4\cdot47{,}5+2\cdot22+49\Big)=\frac{0{,}5}{3}\cdot292=\frac{0{,}5\cdot292}{3}=\frac{146}{3}.
  • Em decimal \frac{146}{3}=48{,}666\ldots (ou 48{,}6\overline{6}).

Passo 8

Simpson composta com n=10.
  • Já tínhamos h=0{,}2 e avaliamos f nos nós. Reúno as somas necessárias:
    • Soma dos índices ímpares i=1,3,5,7,9:
\sum_{\text{ímpar}} f(x_i)=10{,}768+15{,}456+22+30{,}784+42{,}192=121{,}2.í
  • Soma dos índices pares internos i=2,4,6,8:
\sum_{\text{par}} f(x_i)=12{,}904+18{,}472+26{,}088+36{,}136=93{,}6.
  • Aplico Simpson:
S_{10}=\frac{0{,}2}{3}\Big(9+4\cdot121{,}2+2\cdot93{,}6+49\Big).
  • Calculo interno: 9+4\cdot121{,}2+2\cdot93{,}6+49=9+484{,}8+187{,}2+49=730.
  • Então
S_{10}=\frac{0{,}2}{3}\cdot730=\frac{1}{15}\cdot730=\frac{730}{15}=\frac{146}{3}.
  • Novamente S_{10}=\frac{146}{3}=48{,}6\overline{6}. Como previsto, Simpson deu o valor exato para o polinômio cúbico.

Passo 9

Cálculo analítico exato (verificação).
  • Posso integrar simbolicamente para comparar:
\int (x^{3}+x^{2}+3x+4)\,dx=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+4x+C.
  • Avaliando de 1 a 3:
\begin{aligned} \Big[\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+4x\Big]_{1}^{3} &=\Big( \frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}+\frac{3\cdot3^{2}}{2}+4\cdot3\Big) -\Big(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+4\Big)\\\ &=54{,}75-6{,}083\overline{3}=\frac{146}{3}=48{,}6\overline{6}. \end{aligned}
  • Confirmação: Simpson deu exatamente o valor exato, como a teoria prevê.

Resposta

Regra do Trapézio composta, n=4: 49{,}25
Regra do Trapézio composta, n=10: 48{,}76
Regra de Simpson composta, n=4: \displaystyle \frac{146}{3}
Regra de Simpson composta, n=10: \displaystyle \frac{146}{3}

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