Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando métodos numéricos com
subintervalos e com
subintervalos. As informações relevantes são:
- O integrando é a função
. - O intervalo de integração é
. - Devemos aplicar métodos numéricos (compostos) para
e para . - Não há mais dados no enunciado; vou usar dois métodos numéricos clássicos e básicos: a Regra do Trapézio composta e a Regra de Simpson composta (explico por quê no Passo 2).
Passo 2
Por que escolhi Trapézio e Simpson?
- O enunciado não especificou quais “métodos” usar. Pelo algoritmo que sigo, escolho métodos básicos da disciplina de integração numérica: a Regra do Trapézio composta (fácil e ensinada primeiro) e a Regra de Simpson composta (um pouco mais precisa e também básica).
- Vou explicar cada método, mostrar a fórmula, o significado de cada símbolo e depois aplicar para
e .
Passo 3
Explicação e fórmula da Regra do Trapézio composta.
- Dividimos o intervalo
em subintervalos de largura
- Os nós são
. - A Regra do Trapézio composta estima a integral por
- Aqui
é o valor da função no nó ; é um fator que vem da área dos trapézios que aproximam a curva.
Agora aplico para
.
Passo 4
Regra do Trapézio composta com
.
- Calculo
:
- Nós
:
- Agora avalio
em cada nó:
- Soma dos nós internos:
- Aplico a fórmula do trapézio:
Passo 5
Regra do Trapézio composta com
.
-
. - Nós
. - Avalio
em cada nó (cadeia de contas mostrada de forma direta):
- Soma dos internos
(soma direta dos valores acima). - Aplico a fórmula:
Passo 6
Explicação e fórmula da Regra de Simpson composta.
- A Regra de Simpson composta exige
par e é baseada em aproximar o integrando por parábolas em pares de subintervalos. - A fórmula é
- Aqui:
-
é a largura de cada subintervalo (mesmo que antes), - a soma com coeficiente
pega os nós de índice ímpar, - a soma com coeficiente
pega os nós de índice par (exceto os extremos).
-
- Propriedade importante: a Regra de Simpson é exata para polinômios de grau até
(cúbicos). Isso porque a regra é construída a partir de interpolação por polinômios de grau em cada par de subintervalos, e, combinada, a regra composta acaba integrando exatamente até grau . Como nosso integrando é um cúbico, a Simpson composta dará o valor exato da integral.
Passo 7
Simpson composta com
.
- Já tínhamos
e os valores:
- Soma dos índices ímpares:
. - Soma dos índices pares (internos):
. - Aplico Simpson:
- Em decimal
(ou ).
Passo 8
Simpson composta com
.
- Já tínhamos
e avaliamos nos nós. Reúno as somas necessárias: - Soma dos índices ímpares
:
- Soma dos índices ímpares
- Soma dos índices pares internos
:
- Aplico Simpson:
- Calculo interno:
. - Então
- Novamente
. Como previsto, Simpson deu o valor exato para o polinômio cúbico.
Passo 9
Cálculo analítico exato (verificação).
- Posso integrar simbolicamente para comparar:
- Avaliando de
a :
- Confirmação: Simpson deu exatamente o valor exato, como a teoria prevê.
Resposta
Regra do Trapézio composta,
:
Regra do Trapézio composta, :
Regra de Simpson composta, :
Regra de Simpson composta, :
Regra do Trapézio composta,
Regra de Simpson composta,
Regra de Simpson composta,