Nos exercícios a seguir, determine a curvatura das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(t^{2}, \operatorname{sen} t-t \cos t, \cos t+t \operatorname{sen} t\right) ; t>0

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva espacial \vec{r}(t) = \bigl(t^2,\;\sin t - t\cos t,\;\cos t + t\sin t\bigr), t>0.
Para curvas em \mathbb{R}^3 parametrizadas por t, usamos a fórmula
\kappa(t) \;=\;\frac{\bigl\|\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|^3}.

Passo 2

Calculemos \vec r\,'(t) e \vec r\,''(t).
Para \vec r(t)=(x,y,z) com x=t^2, y=\sin t - t\cos t, z=\cos t + t\sin t, temos
\vec r\,'(t) = (2t,\;t\sin t,\;t\cos t),
\vec r\,''(t) = \bigl(2,\;\sin t + t\cos t,\;\cos t - t\sin t\bigr).

Passo 3

Agora o produto vetorial
\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t) = (-t^2,\;2t^2\sin t,\;2t^2\cos t).
Seu módulo é
\bigl\|\vec r\,'\times\vec r\,''\bigr\| = \sqrt{(-t^2)^2 + (2t^2\sin t)^2 + (2t^2\cos t)^2} = \sqrt{t^4 +4t^4(\sin^2t+\cos^2t)} = \sqrt{5\,t^4} = \sqrt{5}\,t^2.
Além disso,
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| = \sqrt{(2t)^2 + (t\sin t)^2 + (t\cos t)^2} = \sqrt{4t^2 + t^2} = \sqrt{5}\,t,
logo \bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|^3 = (\sqrt{5}\,t)^3 = 5\sqrt{5}\,t^3.

Passo 4

Substituindo na fórmula da curvatura,
\kappa(t) = \frac{\sqrt{5}\,t^2}{5\sqrt{5}\,t^3} = \frac{1}{5t}.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{5t}.

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