Passo 1
O enunciado fornece a forma diferencial
Informações relevantes disponíveis:
Observação importante: as expressões têm singularidades em
e
, portanto a solução só faz sentido em regiões onde
e
. O que se pede implicitamente é encontrar a solução geral (implícita) dessa equação diferencial.
Passo 2
Conceito necessário (explicado com calma): uma equação diferencial na forma
é chamada de exata se existe uma função potencial
tal que
Nesse caso a solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante. Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais mistas:
e se forem iguais (num domínio onde as funções são contínuas) a forma é exata. A vantagem é que, em vez de resolver explicitamente uma equação para
, construímos
integrando
em relação a
(introduzindo uma função “constante” de
) e determinamos essa função usando a condição
.
Passo 3
Verificação de exatidão (contando passo a passo):
Calculemos
Calculemos
e
Como
para
, a forma é exata nessas regiões. Ou seja, existe
com
e
.
Passo 4
Encontrando a função potencial
: integramos
em relação a
, tratando
como constante. Faça passo a passo as integrais:
Cada termo:
Portanto, ao integrar obtemos
onde
é a “constante” de integração que pode depender de
(porque só integramos em
).
Passo 5
Determinar
usando
. Primeiro calcule
:
Igualamos a
:
Cancelando
dos dois lados obtemos
Agora integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos absorver
na constante final da solução.
Passo 6
Escrevendo a potencial completa e simplificando: substituindo
em
obtemos
Agrupando termos:
Usando
chegamos a uma forma mais compacta:
A solução geral implícita é
. Podemos renomear a constante
para
.
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): derivando
obtemos
que é exatamente a forma dada; portanto a solução está correta. Lembre-se: válidos somente onde
e
.