\left(1-\frac{3}{x}+y\right) d x+\left(1-\frac{3}{y}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a forma diferencial
\left(1-\frac{3}{x}+y\right)\,dx+\left(1-\frac{3}{y}+x\right)\,dy=0.
Informações relevantes disponíveis:
M(x,y)=1-\frac{3}{x}+y,\qquad N(x,y)=1-\frac{3}{y}+x.
Observação importante: as expressões têm singularidades em x=0 e y=0, portanto a solução só faz sentido em regiões onde x\neq0 e y\neq0. O que se pede implicitamente é encontrar a solução geral (implícita) dessa equação diferencial.

Passo 2

Conceito necessário (explicado com calma): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é chamada de exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Nesse caso a solução geral é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante. Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x},
e se forem iguais (num domínio onde as funções são contínuas) a forma é exata. A vantagem é que, em vez de resolver explicitamente uma equação para y(x), construímos \Phi integrando M em relação a x (introduzindo uma função “constante” de y) e determinamos essa função usando a condição \partial\Phi/\partial y=N.

Passo 3

Verificação de exatidão (contando passo a passo):
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(1-\frac{3}{x}+y\right)=1,
e
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(1-\frac{3}{y}+x\right)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1 para x\neq0,\\ y\neq0, a forma é exata nessas regiões. Ou seja, existe \Phi(x,y) com \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N.

Passo 4

Encontrando a função potencial \Phi: integramos M em relação a x, tratando y como constante. Faça passo a passo as integrais:
\int\left(1-\frac{3}{x}+y\right)\,dx =\int 1\,dx-\int\frac{3}{x}\,dx+\int y\,dx.
Cada termo:
\int 1\,dx = x,
\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|,
\int y\,dx = xy\quad(\text{pois }y\text{ é constante ao integrar em }x).é
Portanto, ao integrar obtemos
\Phi(x,y)=x-3\ln|x|+xy+h(y),
onde h(y) é a “constante” de integração que pode depender de y (porque só integramos em x).

Passo 5

Determinar h(y) usando \partial\Phi/\partial y=N. Primeiro calcule \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x+h'(y).
Igualamos a N(x,y):
x+h'(y)=1-\frac{3}{y}+x.
Cancelando x dos dois lados obtemos
h'(y)=1-\frac{3}{y}.
Agora integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int\left(1-\frac{3}{y}\right)dy=\int 1\,dy-\int\frac{3}{y}\,dy=y-3\ln|y|+C_1,
onde C_1 é uma constante. Podemos absorver C_1 na constante final da solução.

Passo 6

Escrevendo a potencial completa e simplificando: substituindo h(y) em \Phi obtemos
\Phi(x,y)=x-3\ln|x|+xy+y-3\ln|y|+C_1.
Agrupando termos:
\Phi(x,y)=xy+x+y-3\big(\ln|x|+\ln|y|\big)+C_1.
Usando \ln|x|+\ln|y|=\ln|xy| chegamos a uma forma mais compacta:
\Phi(x,y)=xy+x+y-3\ln|xy|+C_1.
A solução geral implícita é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos renomear a constante C_1 para C.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): derivando \Phi obtemos
d\Phi=\left(1-\frac{3}{x}+y\right)dx+\left(1-\frac{3}{y}+x\right)dy,
que é exatamente a forma dada; portanto a solução está correta. Lembre-se: válidos somente onde x\neq0 e y\neq0.

Resposta

xy+x+y-3\ln|xy|=C

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