Para A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(K), definimos a matriz transposta de A por
A^{t}=\left(b_{i j}\right), \text { onde } b_{i j}=a_{j i}
Verifique as seguintes propriedades de matrizes transpostas:
(A+B){t}=A{t}+B^{t}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
onde A=\left(a_{ij}\right) e B é outra matriz da mesma ordem. Informações dadas e o que se pede:
  • A\in M_{m\times n}(K).
  • Considerar uma matriz B\in M_{m\times n}(K) (para que a soma A+B esteja bem definida).
  • A definição da transposta: se M=(m_{ij}) então M^{t}=(m'_{ij}) com m'_{ij}=m_{ji}.
  • Pedir: provar que a transposta da soma é a soma das transpostas.

Passo 2

Relembrando bem devagar (passo didático):
  • Soma de matrizes: se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M_{m\times n}(K), então a soma A+B é a matriz de mesma ordem cujos elementos são
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},
para todo i\in\{1,\dots,m\}, j\in\{1,\dots,n\}.
  • Transposta: para qualquer matriz M=(m_{ij})\in M_{p\times q}(K), a transposta M^{t}\in M_{q\times p}(K) tem entradas
(M^{t})_{ij}=m_{ji},
ou seja, troca-se linhas por colunas.

Passo 3

Observação sobre ordens (importante para escolher os índices corretamente):
  • Como A,B\in M_{m\times n}(K), a soma A+B\in M_{m\times n}(K).
  • Assim (A+B)^{t}\in M_{n\times m}(K).
  • Também A^{t},B^{t}\in M_{n\times m}(K) e portanto A^{t}+B^{t}\in M_{n\times m}(K).
    Logo faz sentido comparar (A+B)^{t} e A^{t}+B^{t}, pois ambas são matrizes n\times m.

Passo 4

Prova elemento a elemento (método padrão e seguro em provas):
  • Tome índices arbitrários i\in\{1,\dots,n\} e j\in\{1,\dots,m\}. Esses serão índices válidos para as entradas das matrizes transpostas (que são n\times m).
  • Pelo significado da transposta, a entrada (i,j) de (A+B)^{t} é
\bigl((A+B)^{t}\bigr)_{ij}=(A+B)_{ji}.
  • Pela definição da soma de matrizes, tem-se
(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}.

Passo 5

Agora calcule a mesma entrada do lado direito A^{t}+B^{t}:
  • A entrada (i,j) de A^{t}+B^{t} é
\bigl(A^{t}+B^{t}\bigr)_{ij}=(A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij}.
  • Pela definição da transposta,
(A^{t})_{ij}=a_{ji}\qquad\text{e}\qquad (B^{t})_{ij}=b_{ji}.
  • Portanto
\bigl(A^{t}+B^{t}\bigr)_{ij}=a_{ji}+b_{ji}.

Passo 6

Comparando os resultados dos Passos 4 e 5:
  • Para quaisquer índices i e j escolhidos temos
\bigl((A+B)^{t}\bigr)_{ij}=a_{ji}+b_{ji}=\bigl(A^{t}+B^{t}\bigr)_{ij}.
  • Como as duas matrizes (A+B)^{t} e A^{t}+B^{t} têm a mesma ordem n\times m e todas as entradas correspondentes coincidem, conclui-se que as matrizes são iguais (duas matrizes são iguais se, e só se, todas as entradas correspondentes são iguais).

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar e checar na prática):
  • Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[2pt]4 & 5 & 6\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}6 & 5 & 4\\[2pt]3 & 2 & 1\end{pmatrix}
(ambas em M_{2\times3}(K)). Então
A+B=\begin{pmatrix}7 & 7 & 7\\[2pt]7 & 7 & 7\end{pmatrix}.
A transposta de A+B é
(A+B)^{t}=\begin{pmatrix}7 & 7\\[2pt]7 & 7\\[2pt]7 & 7\end{pmatrix}.
Por outro lado
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[2pt]2 & 5\\[2pt]3 & 6\end{pmatrix},\qquad B^{t}=\begin{pmatrix}6 & 3\\[2pt]5 & 2\\[2pt]4 & 1\end{pmatrix},
e somando obtém-se
A^{t}+B^{t}=\begin{pmatrix}7 & 7\\[2pt]7 & 7\\[2pt]7 & 7\end{pmatrix}.
Os dois resultados coincidem, conforme a prova geral.]

Passo 8

Dica de prova para a prova: sempre que uma propriedade matricial parece “óbvia”, o jeito mais seguro é provar elemento a elemento — escolher índices genéricos e mostrar que a entrada (i,j) de ambos os lados coincide. Isso funciona para soma, produto, transposta, etc. Força! Você já entendeu a técnica.

Resposta

(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}

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