Para A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(K), definimos a matriz transposta de A por
A^{t}=\left(b_{i j}\right), \text { onde } b_{i j}=a_{j i}
Verifique as seguintes propriedades de matrizes transpostas:
(A+B){t}=A{t}+B^{t}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a propriedade
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
onde A=\left(a_{ij}\right) e B é outra matriz da mesma ordem. Informações dadas e o que se pede:
A\in M_{m\times n}(K).
Considerar uma matriz B\in M_{m\times n}(K) (para que a soma A+B esteja bem definida).
A definição da transposta: se M=(m_{ij}) então M^{t}=(m'_{ij}) com m'_{ij}=m_{ji}.
Pedir: provar que a transposta da soma é a soma das transpostas.
Passo 2
Relembrando bem devagar (passo didático):
Soma de matrizes: se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M_{m\times n}(K), então a soma A+B é a matriz de mesma ordem cujos elementos são
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},
para todo i\in\{1,\dots,m\}, j\in\{1,\dots,n\}.
Transposta: para qualquer matriz M=(m_{ij})\in M_{p\times q}(K), a transposta M^{t}\in M_{q\times p}(K) tem entradas
(M^{t})_{ij}=m_{ji},
ou seja, troca-se linhas por colunas.
Passo 3
Observação sobre ordens (importante para escolher os índices corretamente):
Como A,B\in M_{m\times n}(K), a soma A+B\in M_{m\times n}(K).
Assim (A+B)^{t}\in M_{n\times m}(K).
Também A^{t},B^{t}\in M_{n\times m}(K) e portanto A^{t}+B^{t}\in M_{n\times m}(K).
Logo faz sentido comparar (A+B)^{t} e A^{t}+B^{t}, pois ambas são matrizes n\times m.
Passo 4
Prova elemento a elemento (método padrão e seguro em provas):
Tome índices arbitrários i\in\{1,\dots,n\} e j\in\{1,\dots,m\}. Esses serão índices válidos para as entradas das matrizes transpostas (que são n\times m).
Pelo significado da transposta, a entrada (i,j) de (A+B)^{t} é
\bigl((A+B)^{t}\bigr)_{ij}=(A+B)_{ji}.
Pela definição da soma de matrizes, tem-se
(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}.
Passo 5
Agora calcule a mesma entrada do lado direito A^{t}+B^{t}:
Como as duas matrizes (A+B)^{t} e A^{t}+B^{t} têm a mesma ordem n\times m e todas as entradas correspondentes coincidem, conclui-se que as matrizes são iguais (duas matrizes são iguais se, e só se, todas as entradas correspondentes são iguais).
Passo 7
Exemplo concreto (para fixar e checar na prática):
Os dois resultados coincidem, conforme a prova geral.]
Passo 8
Dica de prova para a prova: sempre que uma propriedade matricial parece “óbvia”, o jeito mais seguro é provar elemento a elemento — escolher índices genéricos e mostrar que a entrada (i,j) de ambos os lados coincide. Isso funciona para soma, produto, transposta, etc. Força! Você já entendeu a técnica.