Para
, definimos a matriz transposta de
por
Verifique as seguintes propriedades de matrizes transpostas:
Se A e B são matrizes simétricas, ou seja, A=A^{t} e B=B^{t} , então A B=B A .
Se A e B são matrizes simétricas, ou seja, A=A^{t} e B=B^{t} , então A B=B A .
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes simétricas, ou seja:
A pergunta é verificar se, a partir disso, segue que
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dados:
e são matrizes (da mesma ordem) e . - Pedido: determinar se necessariamente
e justificar (prova ou contraexemplo).
Passo 2
Lema útil (fórmula que vou usar): para matrizes
e
vale a identidade
Vou explicar por que isso é verdade, passo a passo, usando índices e somas (forma elementar): o elemento
de
é
Portanto o elemento
de
é
Reordenando os fatores dentro da soma (e lembrando que somas e produtos em
são comutativos), tem-se
Como isso vale para todo par
, concluímos que
. Isso é uma propriedade básica de transposta de produto.
Passo 3
Aplicando a identidade anterior ao caso em que
e
são simétricas (ou seja
e
), obtemos
Portanto, a informação que temos é exatamente que a transposta de
é
. Em outras palavras,
Isto implica que
é simétrica se, e somente se,
. Mas atenção: a igualdade
por si só não garante
; ela apenas identifica a transposta de
com
. Para concluir
precisamos ainda da igualdade
, isto é, que
seja simétrica. Logo, a hipótese "
e
simétricas" não dá, automaticamente, que
seja simétrica nem que
.
Passo 4
Para mostrar que a afirmação "se
e
são simétricas então
" é falsa, basta um contraexemplo concreto. Considere as matrizes simétricas
Verifica-se imediatamente que
e
. Agora calculo
e
elemento a elemento.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Comparando, vemos que
Logo
apesar de
e
serem simétricas. Isso prova que a afirmação original é falsa.]
Passo 5
Resumo didático e condições em que a igualdade ocorre:
- O que mostramos: a condição
e não implica em geral. O cálculo acima é um contraexemplo direto. - Observação útil: sempre vale
quando e são simétricas; portanto será simétrica exatamente quando . Ou seja, a simetria de e garante apenas que a transposta de seja , mas não garante que seja igual a . - Caso em que sim existe comutatividade: se
e são simultaneamente diagonalizáveis por uma mesma matriz (por exemplo, se existem uma base ortonormal de autovetores comuns, situação que ocorre quando duas simétricas comutam e são diagonalizáveis), então . Mas essa propriedade de serem simultaneamente diagonalizáveis não segue apenas de cada uma ser simétrica isoladamente — é uma condição adicional.
Força aí nos estudos — é normal confundir essas coisas; contraexemplos simples como esse salvam a prova na hora!
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo:
que são simétricas, porém