Para A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(K), definimos a matriz transposta de A por
A^{t}=\left(b_{i j}\right), \text { onde } b_{i j}=a_{j i}
Verifique as seguintes propriedades de matrizes transpostas:
Se A e B são matrizes simétricas, ou seja, A=A^{t} e B=B^{t} , então A B=B A .

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes simétricas, ou seja:
A = A^{t},\qquad B = B^{t}.
A pergunta é verificar se, a partir disso, segue que
AB = BA.
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados: A e B são matrizes (da mesma ordem) e A^{t}=A,\;B^{t}=B.
  • Pedido: determinar se necessariamente AB=BA e justificar (prova ou contraexemplo).

Passo 2

Lema útil (fórmula que vou usar): para matrizes A\in M_{m\times n}(K) e B\in M_{n\times p}(K) vale a identidade
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Vou explicar por que isso é verdade, passo a passo, usando índices e somas (forma elementar): o elemento (i,j) de AB é
(AB)_{ij}=\sum_{k}a_{ik}b_{kj}.
Portanto o elemento (i,j) de (AB)^{t} é
(AB)^{t}_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k}a_{jk}b_{ki}.
Reordenando os fatores dentro da soma (e lembrando que somas e produtos em K são comutativos), tem-se
\sum_{k}a_{jk}b_{ki}=\sum_{k}b_{ki}a_{jk}=(B^{t}A^{t})_{ij}.
Como isso vale para todo par (i,j), concluímos que (AB)^{t}=B^{t}A^{t}. Isso é uma propriedade básica de transposta de produto.

Passo 3

Aplicando a identidade anterior ao caso em que A e B são simétricas (ou seja A^{t}=A e B^{t}=B), obtemos
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}=BA.
Portanto, a informação que temos é exatamente que a transposta de AB é BA. Em outras palavras,
(AB)^{t}=BA.
Isto implica que AB é simétrica se, e somente se, AB=BA. Mas atenção: a igualdade (AB)^{t}=BA por si só não garante AB=BA; ela apenas identifica a transposta de AB com BA. Para concluir AB=BA precisamos ainda da igualdade AB=(AB)^{t}, isto é, que AB seja simétrica. Logo, a hipótese " A e B simétricas" não dá, automaticamente, que AB seja simétrica nem que AB=BA.

Passo 4

Para mostrar que a afirmação "se A e B são simétricas então AB=BA" é falsa, basta um contraexemplo concreto. Considere as matrizes simétricas 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Verifica-se imediatamente que A^{t}=A e B^{t}=B. Agora calculo AB e BA elemento a elemento.
Cálculo de AB:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot0+1\cdot(-1)\\[6pt] 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot0+1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Cálculo de BA:
BA=\begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot1 & 1\cdot1+0\cdot1\\[6pt] 0\cdot1+(-1)\cdot1 & 0\cdot1+(-1)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}.
Comparando, vemos que
AB=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}=BA.
Logo AB\neq BA apesar de A e B serem simétricas. Isso prova que a afirmação original é falsa.]

Passo 5

Resumo didático e condições em que a igualdade ocorre:
  • O que mostramos: a condição A^{t}=A e B^{t}=B não implica AB=BA em geral. O cálculo acima é um contraexemplo direto.
  • Observação útil: sempre vale (AB)^{t}=BA quando A e B são simétricas; portanto AB será simétrica exatamente quando AB=BA. Ou seja, a simetria de A e B garante apenas que a transposta de AB seja BA, mas não garante que AB seja igual a BA.
  • Caso em que sim existe comutatividade: se A e B são simultaneamente diagonalizáveis por uma mesma matriz (por exemplo, se existem uma base ortonormal de autovetores comuns, situação que ocorre quando duas simétricas comutam e são diagonalizáveis), então AB=BA. Mas essa propriedade de serem simultaneamente diagonalizáveis não segue apenas de cada uma ser simétrica isoladamente — é uma condição adicional.
Força aí nos estudos — é normal confundir essas coisas; contraexemplos simples como esse salvam a prova na hora!

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
que são simétricas, porém
AB=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}=BA.]

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