Para A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(K), definimos a matriz transposta de A por
A^{t}=\left(b_{i j}\right), \text { onde } b_{i j}=a_{j i}
Verifique as seguintes propriedades de matrizes transpostas:
(-A){t}=-\left(A{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=\left(a_{ij}\right)\in M_{m\times n}(K) e a definição da transposta:
A^{t}=\left(b_{ij}\right),\quad\text{onde}\quad b_{ij}=a_{ji}.
O que se pede: verificar a identidade
(-A)^{t} = -\bigl(A^{t}\bigr).
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz m\times n com entradas a_{ij}.
  • A transposta troca índices: a entrada (i,j) de A^{t} é a_{ji}.
  • A operação -A é a multiplicação da matriz A pelo escalar -1.

Passo 2

Entender o que é -A. Multiplicar uma matriz pelo escalar -1 significa multiplicar cada entrada por -1. Portanto, se escrevemos
- A = \left(c_{ij}\right),
então, por definição de multiplicação por escalar,
c_{ij} = -1\cdot a_{ij} = -a_{ij},
para todo i e j. Em palavras: a entrada (i,j) de -A é -a_{ij}.

Passo 3

Calcular a transposta de -A. Use a definição da transposta aplicada à matriz -A. Se definirmos
(-A)^{t} = \left(d_{ij}\right),
então, pela definição da transposta, a entrada (i,j) de (-A)^{t} é a entrada (j,i) de -A. Assim
d_{ij} = (-A)_{ji}.
Mas do Passo 2 sabemos que (-A)_{ji} = -a_{ji}. Logo
d_{ij} = -a_{ji}.

Passo 4

Calcular -\bigl(A^{t}\bigr). Primeiro escrevemos a transposta A^{t}. Por definição,
A^{t} = \left(a_{ji}\right),
ou seja, a entrada (i,j) de A^{t} é a_{ji}. Agora multiplicar A^{t} por -1 dá a matriz
-\bigl(A^{t}\bigr) = \left(e_{ij}\right),
onde
e_{ij} = -\bigl(a_{ji}\bigr).

Passo 5

Comparação das entradas. Do Passo 3 temos d_{ij} = -a_{ji}. Do Passo 4 temos e_{ij} = -a_{ji}. Portanto, para todo i e j,
d_{ij} = e_{ij}.
Como todas as entradas correspondentes de (-A)^{t} e de -\bigl(A^{t}\bigr) coincidem, as duas matrizes são iguais. Conclusão:
(-A)^{t} = -\bigl(A^{t}\bigr).
(Dica prática: essa propriedade é um caso particular da identidade geral (cA)^{t}=cA^{t} para qualquer escalar c\in K; aqui c=-1.)

Resposta

(-A)^{t} = -\bigl(A^{t}\bigr)

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