Para
, definimos a matriz transposta de
por
Verifique as seguintes propriedades de matrizes transpostas:
(-A){t}=-\left(A{t}\right)
(-A){t}=-\left(A{t}\right)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
e a definição da transposta:
O que se pede: verificar a identidade
Lista das informações relevantes fornecidas:
-
é uma matriz com entradas . - A transposta troca índices: a entrada
de é . - A operação
é a multiplicação da matriz pelo escalar .
Passo 2
Entender o que é
. Multiplicar uma matriz pelo escalar
significa multiplicar cada entrada por
. Portanto, se escrevemos
então, por definição de multiplicação por escalar,
para todo
e
. Em palavras: a entrada
de
é
.
Passo 3
Calcular a transposta de
. Use a definição da transposta aplicada à matriz
. Se definirmos
então, pela definição da transposta, a entrada
de
é a entrada
de
. Assim
Mas do Passo 2 sabemos que
. Logo
Passo 4
Calcular
. Primeiro escrevemos a transposta
. Por definição,
ou seja, a entrada
de
é
. Agora multiplicar
por
dá a matriz
onde
Passo 5
Comparação das entradas. Do Passo 3 temos
. Do Passo 4 temos
. Portanto, para todo
e
,
Como todas as entradas correspondentes de
e de
coincidem, as duas matrizes são iguais. Conclusão:
(Dica prática: essa propriedade é um caso particular da identidade geral
para qualquer escalar
; aqui
.)