\left(\mathrm{Vlr}=1,5\right. pontos) Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função y=\frac{x^{2}+1}{x+1}, se existirem.

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas verticais e horizontais da função
y = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}.
O conteúdo envolvido é comportamento de funções em pontos de descontinuidade (assíntota vertical) e em infinitos (assíntota horizontal). Vamos precisar verificar onde o denominador se anula e calcular limites em x\to\pm\infty.

Passo 2

Para identificar a assíntota vertical, observamos o denominador x+1. Ele se anula em x=-1, ponto onde a função pode explodir. Calculamos
\lim_{x\to -1^-}\frac{x^{2}+1}{x+1} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -1^+}\frac{x^{2}+1}{x+1}.
Como próximo de x=-1 o numerador tende a 2 e o denominador muda de sinal, ambos os limites são \pm\infty. Logo, há assíntota vertical em
x = -1.

Passo 3

Para estudar o comportamento em infinito, fazemos a divisão polinomial:
\frac{x^{2}+1}{x+1} = x-1 + \frac{2}{x+1}.
Isso mostra que, quando \lvert x\rvert\to\infty, a fração \tfrac{2}{x+1}\to 0 e
y \sim x - 1.
Portanto a curva se aproxima da reta y = x - 1 (assíntota oblíqua), mas não de uma reta horizontal.

Passo 4

Para verificar a existência de assíntota horizontal, calculamos
\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2}+1}{x+1} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{x^{2}+1}{x+1}.
Em ambos os casos o valor vai para \pm\infty, não para constante. Logo, não há assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=-1.
Assíntota horizontal: nenhuma.

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