( \mathrm{Vlr}=3,0 pontos) Calcule a derivada das seguintes funções e as expresse da forma mais simplificada possivel.
y=\frac{x-\sqrt{x}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{x - \sqrt{x}}{x^{2}}
O conteúdo envolvido é derivação de soma de potências de x. Vamos primeiro reescrever y em potências para aplicar diretamente a regra do poder e depois simplificar o resultado.

Passo 2

Reescrevendo em potências de x:
y = \frac{x}{x^{2}} \;-\;\frac{x^{1/2}}{x^{2}}
Como x/x^{2}=x^{-1} e x^{1/2}/x^{2}=x^{1/2-2}=x^{-3/2}, temos
y = x^{-1} - x^{-3/2}.

Passo 3

Derivando termo a termo pelo regra do poder \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)\;-\;\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3/2}\bigr) = -1\cdot x^{-2}\;-\;\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)x^{-5/2}
y' = -\,x^{-2} \;+\;\frac{3}{2}\,x^{-5/2}.

Passo 4

Escrevendo com denominadores em evidência:
y' = -\frac{1}{x^{2}} \;+\;\frac{3}{2\,x^{5/2}}.

Passo 5

Para simplificar, usamos o mesmo denominador 2\,x^{5/2}:
o primeiro termo vira -1/x^{2} = -2\,x^{1/2}/(2\,x^{5/2}), logo
y' = \frac{-2\,x^{1/2} + 3}{2\,x^{5/2}} = \frac{3 - 2\sqrt{x}}{2\,x^{5/2}}.

Resposta

y' = \frac{3 - 2\sqrt{x}}{2\,x^{5/2}}.

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