Se \left(a_{n}\right) e ( b_{n} ) são sequências de Cauchy em \mathbb{R}, mostre que ( a_{n} b_{n} ) também é uma sequência de Cauchy.
Esta atividade vale 2,0 (dois potos). Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração \varnothing \varnothing \varnothing.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se \bigl(a_{n}\bigr) e \bigl(b_{n}\bigr) são sequências de Cauchy em \mathbb{R}, então a sequência \bigl(a_{n}b_{n}\bigr) também é de Cauchy. Vamos usar a definição de sequência de Cauchy, o fato de que toda sequência de Cauchy em \mathbb{R} é limitada, e desigualdades elementares (desigualdade triangular).
Passo 2
Como \bigl(a_{n}\bigr) é Cauchy em \mathbb{R}, ela é limitada. Logo existe M_{a}>0 tal que para todo n vale
|a_{n}|\le M_{a}.
De modo análogo, como \bigl(b_{n}\bigr) é Cauchy, existe M_{b}>0 com
|b_{n}|\le M_{b}
para todo n. Defina M=\max\{M_{a},M_{b}\}, de modo que
|a_{n}|\le M \quad\text{e}\quad |b_{n}|\le M \quad\text{para todo \(n\).}
Passo 3
Seja agora \varepsilon>0 dado. Como \bigl(a_{n}\bigr) é Cauchy, existe N_{1} tal que para todos n,m\ge N_{1}
|a_{n}-a_{m}|<\frac{\varepsilon}{2M}.
De modo idêntico, como \bigl(b_{n}\bigr) é Cauchy, existe N_{2} tal que para todos n,m\ge N_{2}
|b_{n}-b_{m}|<\frac{\varepsilon}{2M}.
Defina N=\max\{N_{1},N_{2}\}. Então, sempre que n,m\ge N, temos simultaneamente as duas desigualdades acima.