Se \left(a_{n}\right) e ( b_{n} ) são sequências de Cauchy em \mathbb{R}, mostre que ( a_{n} b_{n} ) também é uma sequência de Cauchy.
Esta atividade vale 2,0 (dois potos). Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração \varnothing \varnothing \varnothing.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \bigl(a_{n}\bigr) e \bigl(b_{n}\bigr) são sequências de Cauchy em \mathbb{R}, então a sequência \bigl(a_{n}b_{n}\bigr) também é de Cauchy. Vamos usar a definição de sequência de Cauchy, o fato de que toda sequência de Cauchy em \mathbb{R} é limitada, e desigualdades elementares (desigualdade triangular).

Passo 2

Como \bigl(a_{n}\bigr) é Cauchy em \mathbb{R}, ela é limitada. Logo existe M_{a}>0 tal que para todo n vale
|a_{n}|\le M_{a}.
De modo análogo, como \bigl(b_{n}\bigr) é Cauchy, existe M_{b}>0 com
|b_{n}|\le M_{b}
para todo n. Defina M=\max\{M_{a},M_{b}\}, de modo que
|a_{n}|\le M \quad\text{e}\quad |b_{n}|\le M \quad\text{para todo \(n\).}

Passo 3

Seja agora \varepsilon>0 dado. Como \bigl(a_{n}\bigr) é Cauchy, existe N_{1} tal que para todos n,m\ge N_{1}
|a_{n}-a_{m}|<\frac{\varepsilon}{2M}.
De modo idêntico, como \bigl(b_{n}\bigr) é Cauchy, existe N_{2} tal que para todos n,m\ge N_{2}
|b_{n}-b_{m}|<\frac{\varepsilon}{2M}.
Defina N=\max\{N_{1},N_{2}\}. Então, sempre que n,m\ge N, temos simultaneamente as duas desigualdades acima.

Passo 4

Para n,m\ge N, analise
\bigl|a_{n}b_{n}-a_{m}b_{m}\bigr| =\bigl|a_{n}b_{n}-a_{n}b_{m}+a_{n}b_{m}-a_{m}b_{m}\bigr|.
Aplicando a desigualdade triangular e fatorando,
\bigl|a_{n}b_{n}-a_{m}b_{m}\bigr| \le |a_{n}|\;\bigl|b_{n}-b_{m}\bigr|+|b_{m}|\;\bigl|a_{n}-a_{m}\bigr| \le M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} =\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon.

Passo 5

Mostramos que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N tal que para todo n,m\ge N vale
\bigl|a_{n}b_{n}-a_{m}b_{m}\bigr|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de sequência de Cauchy para \bigl(a_{n}b_{n}\bigr).

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}b_{n}\bigr) é de Cauchy em \mathbb{R}.

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