Seja A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3\end{array}\right].
Determine as bases e dimensões para:
(a) espaço coluna de A;

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e pede o espaço coluna de A. Para isso vamos usar o método de eliminação de Gauss para identificar as colunas-pivô; essas colunas formarão uma base, e o número de pivôs será a dimensão do espaço coluna.

Passo 2

Aplicando operações de linha para obter uma forma escalonada:
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_1
  2. R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_2 e R_4 \leftarrow R_4 - 2\,R_2
chega-se a
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
Nessa forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1, 2, 4 e 5.

Passo 3

Pela teoria do posto, as colunas originais de A de índice 1, 2, 4 e 5 são linearmente independentes e geram o espaço coluna. Logo uma base é dada por
\bigl\{ \underbrace{(1,0,2,0)^{T}}_{c_{1}},\\ \underbrace{(-1,1,0,2)^{T}}_{c_{2}},\\ \underbrace{(0,1,2,1)^{T}}_{c_{4}},\\ \underbrace{(2,0,0,-3)^{T}}_{c_{5}} \bigr\}.
O número de pivôs é 4, que é a dimensão do espaço coluna.

Resposta

A base do espaço coluna de A é
\bigl\{(1,0,2,0)^{T},\,(-1,1,0,2)^{T},\,(0,1,2,1)^{T},\,(2,0,0,-3)^{T}\bigr\}
e sua dimensão é 4.

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