Use o teste da razão para verificar a convergência da sequência \left(n^{2} a^{n}\right), onde 0<a<1.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
u_n = n^{2}a^{n},
onde 0<a<1, usando o teste da razão. A ideia do teste da razão para sequências é: se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|
existe e L<1, então u_n\to0 e, em particular, a sequência converge.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^{2}a^{\,n+1}}{n^{2}a^{\,n}} = \Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{2}\,a.

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{2}\,a = 1^{2}\,a = a.
Como 0<a<1, temos L=a<1.

Passo 4

Pelo teste da razão, L<1 implica que u_n\to0. Logo, a sequência \bigl(n^{2}a^{n}\bigr) converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}n^{2}a^{n}=0.

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