Seja A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & -1 & -1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3\end{array}\right].
Determine as bases e dimensões para:
(b) espaço linha de A;

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e pede a base e a dimensão do espaço linha de A. Vamos usar o conceito de espaço linha (subespaço de \mathbb{R}^5 gerado pelas linhas de A) e calcular o posto de A via eliminação de Gauss.

Passo 2

Definição: o espaço linha de A é
\mathrm{Row}(A)=\mathrm{span}\{\text{linhas de }A\}\subseteq\mathbb{R}^5
e sua dimensão é igual ao posto (número de pivôs) de A. Para encontrar os pivôs, aplicamos eliminação de Gauss em A.

Passo 3

Partindo de
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 4 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3 \end{pmatrix},
zeramos a_{31} com R_3\leftarrow R_3-2R_1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 6 & 2 & -4\\\\ 0 & 2 & 6 & 1 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos abaixo de a_{22}=1 usando
R_3\leftarrow R_3-2R_2,\quad R_4\leftarrow R_4-2R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Em seguida permutamos R_3\leftrightarrow R_4 e normalizamos para revelar todos os pivôs:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Os pivôs estão nas colunas 1,2,4,5, totalizando 4 pivôs. Logo
\mathrm{rank}(A)=4 \quad\text{e}\quad \dim\bigl(\mathrm{Row}(A)\bigr)=4.

Passo 6

Uma base para o espaço linha é dada pelas linhas não nulas da forma escalonada:
b_1 = (1,-1,-1,0,2),\quad b_2 = (0,1,3,1,0),\quad b_3 = (0,0,0,1,3),\quad b_4 = (0,0,0,0,1).

Resposta

Uma base de \mathrm{Row}(A) é
\{(1,-1,-1,0,2),\;(0,1,3,1,0),\;(0,0,0,1,3),\;(0,0,0,0,1)\},
e \dim\bigl(\mathrm{Row}(A)\bigr)=4.

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