Se \left(a_{n}\right) é uma sucessão de termos não-negativos convergindo para 0 , e q é um inteiro positivo, mostre que \lim a_{n}^{1 / q}=0.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar bem claro):
Temos uma sucessão cujos termos são não-negativos: \left(a_{n}\right) e, para todo n, a_{n}\ge 0.
Sabe-se que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
q é um inteiro positivo (ou seja, q\in\mathbb{N} e q\ge 1).
O que devemos mostrar: \lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=0.
Passo 2
Recordando a definição de limite para sequência (a ferramenta que vou usar): dizer que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que para todo }n\ge N\\ \text{temos }|a_{n}-0|<\varepsilon.
Como todos os a_{n} são não-negativos, isto equivale a
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }N\\ \text{tal que para todo }n\ge N\\ \text{temos }0\le a_{n}<\varepsilon.
Vou usar exatamente essa definição para provar que a_{n}^{1/q} tende a 0.
Passo 3
Estratégia concreta (sem zueira): dado um \varepsilon>0 para a sequência \left(a_{n}^{1/q}\right), quero encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_{n}^{1/q}-0\right|<\varepsilon,
ou seja, quero 0\le a_{n}^{1/q}<\varepsilon. Note que a desigualdade a_{n}^{1/q}<\varepsilon é equivalente (para termos não-negativos) a
a_{n}<\varepsilon^{q}.
Portanto faz sentido relacionar o \varepsilon pedido com o número \varepsilon^{q}.
Passo 4
Aplicando a convergência de \left(a_{n}\right) a 0: como \lim_{n\to\infty} a_{n}=0, existe um N (dependente de \varepsilon) tal que, para todo n\ge N,
0\le a_{n}<\varepsilon^{q}.
Isso porque \varepsilon^{q}>0 sempre que \varepsilon>0, então basta aplicar a definição da convergência de a_{n} com o número \varepsilon^{q}.
Passo 5
Agora, usando a relação entre potências: se 0\le x<\varepsilon^{q} e q é inteiro positivo, então, tomando a raiz q-ésima dos dois lados, obtém-se
0\le x^{1/q}<\varepsilon.
A operação t\mapsto t^{1/q} é estritamente crescente em [0,\infty), portanto preserva desigualdades entre números não-negativos. Aplicando isso com x=a_{n}, para todo n\ge N temos
0\le a_{n}^{1/q}<\varepsilon.
Passo 6
Juntando os passos anteriores: dado qualquer \varepsilon>0 encontramos N tal que para todo n\ge N temos \left|a_{n}^{1/q}-0\right|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=0.
Logo a conclusão está provada.
Passo 7
Comentários pedagógicos rápidos (para fixar): a ideia essencial é que, para números não-negativos, a função x\mapsto x^{1/q} é contínua em 0. Assim, a imagem de uma sequência que tende a 0 também tende a 0. No exame, usar a prova por \varepsilon-N com \varepsilon^{q} é a abordagem segura e elementar — é curto e direto.