y^{\prime}=\frac{t-y}{2 t+5 y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=\frac{t - y}{2\,t + 5\,y},
e pede a sua solução geral. Isto é um caso de EDO homogênea, pois o numerador e o denominador são polinômios de grau 1 em t e y. Para resolver, vamos usar a substituição típica de EDOs homogêneas:
y=v\,t,\quad v=v(t).

Passo 2

Com y=v\,t temos
y' = v + t\,\frac{dv}{dt}.
Substituindo em y'=(t-y)/(2t+5y) obtém-se
v + t\,\frac{dv}{dt} =\frac{t - v\,t}{2\,t +5\,v\,t} =\frac{1 - v}{2 +5\,v}.
Isolando dv/dt,
t\,\frac{dv}{dt} =\frac{1 - v}{2 +5\,v} - v =\frac{1 - v - v(2+5\,v)}{2+5\,v} =\frac{1 -3\,v -5\,v^2}{2+5\,v}.

Passo 3

Agora separamos variáveis:
\frac{2+5\,v}{1 -3\,v -5\,v^2}\,dv =\frac{dt}{t}.
Integramos dos dois lados:
\int \frac{2+5\,v}{1 -3\,v -5\,v^2}\,dv =\int \frac{dt}{t}.

Passo 4

Para o lado esquerdo, note que \,1 -3v -5v^2 = -(5v^2+3v -1). Escrevemos
\frac{2+5v}{1 -3v -5v^2} =-\frac{2+5v}{5v^2+3v -1}.
Fazemos a divisão de termos: existe \alpha e \beta tais que
2+5v =\alpha\,(10v+3)+\beta.
Resolva 10\alpha=5\Rightarrow\alpha=\tfrac12 e 3\alpha+\beta=2\Rightarrow\beta=\tfrac12. Logo
\frac{2+5v}{5v^2+3v -1} =\frac{1}{2}\,\frac{10v+3}{5v^2+3v -1} +\frac{1}{2}\,\frac{1}{5v^2+3v -1}.

Passo 5

Assim
\int\frac{2+5v}{1 -3v -5v^2}\,dv =-\frac12\int\frac{10v+3}{5v^2+3v -1}\,dv -\frac12\int\frac{1}{5v^2+3v -1}\,dv.
A primeira integral é imediata:
\int\frac{10v+3}{5v^2+3v -1}\,dv =\ln\bigl|5v^2+3v -1\bigr|.
Para a segunda, escreva 5v^2+3v -1=5\bigl(v+\tfrac{3}{10}\bigr)^2-\tfrac{29}{20} e use a fórmula padrão \displaystyle\int\frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\bigl|\frac{u-a}{u+a}\bigr|. O resultado é
\int\frac{dv}{5v^2+3v -1} =\frac{1}{\sqrt{29}}\, \ln\Bigl|\frac{10v+3-\sqrt{29}}{10v+3+\sqrt{29}}\Bigr|.

Passo 6

Somando tudo,
\int\frac{2+5v}{1 -3v -5v^2}\,dv =-\tfrac12\ln\bigl|5v^2+3v -1\bigr| -\tfrac{1}{2\sqrt{29}} \ln\Bigl|\frac{10v+3-\sqrt{29}}{10v+3+\sqrt{29}}\Bigr| =\ln|t|+C.

Passo 7

Voltando a v=y/t, note que
5v^2+3v -1 =\frac{5y^2+3yt -t^2}{t^2}, \quad 10v+3 =\frac{10y+3t}{t},
e os termos t se cancelam nos logaritmos, resultando na forma implícita da solução geral:
\ln\bigl|5y^2+3yt -t^2\bigr| +\tfrac{1}{\sqrt{29}} \ln\Bigl|\frac{10y+3t -t\sqrt{29}}{10y+3t +t\sqrt{29}}\Bigr| =C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
\bigl|5y^2+3yt -t^2\bigr|\, \Bigl|\frac{10y+3t -t\sqrt{29}}{10y+3t +t\sqrt{29}}\Bigr|^{\!1/\sqrt{29}} =K,
com K constante de integração.

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