\left.\vec{f}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right) \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+x\right) C: y^{2}=(x-a) ; x \leqslant 2 a
Calcule \int_{c} \vec{f} \cdot \overrightarrow{d r}
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação:
A campo vetorial é \vec{f}(x,y)=\left(\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}},\\ \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}+x\right).
A curva C é dada por y^{2}=x-a com x\leqslant 2a.
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}.
Observações de interpretação (informação usada para resolver): como o enunciado escreveu x\leqslant 2a, vou considerar a curva fechada C que é o contorno da região D limitada pela parábola x=a+y^{2} e pela reta vertical x=2a. Essa região tem y variando entre -\sqrt{a} e \sqrt{a}. Assumo também a>0 (caso contrário a região degeneraria). A orientação padrão que usarei é a positiva (contrária ao sentido horário, isto é, sentido anti-horário).
Passo 2
Vamos escolher uma ferramenta prática: o Teorema de Green (uma versão do teorema de Stokes em \mathbb{R}^{2}). Antes disso, preciso checar se posso aplicá-lo: o campo tem singularidade em (0,0) porque aparecem termos com x^{2}+y^{2} no denominador. A região D que descrevemos está à direita de x=a>0, logo (0,0)\notin D. Portanto as derivadas parciais de \vec f são contínuas em uma vizinhança de D e podemos aplicar Green.
O Teorema de Green (forma apropriada) diz que, para um campo \vec f=(P,Q) de classe C^{1} numa região que contém D e sua fronteira orientada positivamente:
Se a orientação de C fosse a negativa (horária), o resultado teria sinal trocado. Aqui usei a orientação positiva (anti-horária), que é a convenção padrão ao aplicar Green.