\left(x^{2}-2 x-8\right)\left(2 x^{2}-x-3\right) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x^{2}-2x-8)\,(2x^{2}-x-3)\ge0.
O conteúdo usado é resolução de inequação polinomial pelo método de fatoração e estudo de sinal.

Passo 2

Primeiro, fatoramos cada polinômio:
x^{2}-2x-8 = (x-4)(x+2)
e
2x^{2}-x-3 = (x - \tfrac32)\,(2x+2) = 2\,(x - \tfrac32)\,(x+1).
Logo a inequação vira
(x-4)(x+2)\,\bigl[2\,(x-\tfrac32)(x+1)\bigr]\ge0.
Como o fator 2 é sempre positivo, podemos ignorá-lo para o estudo de sinal.

Passo 3

Os zeros dos fatores lineares são
x=-2,\quad x=-1,\quad x=\tfrac32,\quad x=4.
Eles particionam a reta em cinco intervalos:
(-\infty,-2),\;(-2,-1),\;(-1,\tfrac32),\;(\tfrac32,4),\;(4,\infty).

Passo 4

Escolhemos um ponto em cada intervalo e contamos quantos fatores são negativos:
  • Em (-\infty,-2), por exemplo x=-3: o produto tem 4 fatores negativos ⇒ positivo.
  • Em (-2,-1), por exemplo x=-1{,}5: 3 fatores negativos ⇒ negativo.
  • Em (-1,\tfrac32), por exemplo x=0: 2 fatores negativos ⇒ positivo.
  • Em (\tfrac32,4), por exemplo x=2: 1 fator negativo ⇒ negativo.
  • Em (4,\infty), por exemplo x=5: 0 fatores negativos ⇒ positivo.
    Como queremos o produto maior ou igual a zero, aceitamos os intervalos de sinal positivo e ainda incluímos os zeros, pois aí o produto vale zero.

Passo 5

Reunindo tudo, a solução é
(-\infty,-2]\;\cup\;[-1,\tfrac32]\;\cup\;[4,\infty).

Resposta

(-\infty,-2]\;\cup\;[-1,\tfrac32]\;\cup\;[4,\infty).

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