y^{\prime \prime}+16 y=0 ; y_{1}=\cos 4 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 16y = 0
e informa uma solução conhecida \,y_{1}=\cos 4x.
O que se pede (implícito): encontrar a solução geral da equação (ou, equivalentemente, encontrar uma segunda solução independente que, junto com \,y_{1}, gere a solução geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem.
  • É homogênea (lado direito igual a zero).
  • Coeficientes constantes (o coeficiente de y'' é 1, o de y é 16, e não há termo em y').
  • Uma solução conhecida é \,y_{1}=\cos 4x.

Passo 2

Classificação do problema (sem resolver ainda): a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes. Para esse tipo de equação existem dois métodos simples e padrão:
  • método da equação característica (rápido quando os coeficientes são constantes);
  • método de redução de ordem (útil quando já se conhece uma solução e quer-se achar outra independente).
Vou usar o método mais direto (equação característica) para obter a solução geral rapidamente e depois mostrar a técnica de redução de ordem para aprender como obter a segunda solução a partir de \,y_{1} — assim fica claro como proceder na prova se derem apenas uma solução.

Passo 3

Método da equação característica — explicação curta e intuitiva:
Para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes da forma
y'' + a y' + b y = 0,
procuramos soluções da forma exponencial \,y=e^{rx}. Substituindo dá uma equação algébrica em r chamada equação característica:
r^2 + a r + b = 0.
As raízes dessa equação determinam o tipo de solução (reais distintas, reais iguais, ou complexas conjugadas). No caso dado, a=0 e b=16.

Passo 4

Aplicando a ideia ao nosso caso:
a equação característica é
r^2 + 16 = 0.
Resolvendo para r:
r^2 = -16 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 4i.
Explicação do que significa: as raízes são complexas conjugadas r = 0 \pm 4i. Para raízes do tipo r = \alpha \pm \beta i a forma real das soluções é
y(x) = e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=0 e \beta=4, então as soluções reais que aparecem são funções trigonométricas com frequência 4: \cos 4x e \sin 4x. (Não vou escrever a forma final aqui — guardo isso para a seção de resposta.)

Passo 5

Verificação direta de que \,y_{1}=\cos 4x é solução (modelo de passo que se deve fazer numa prova):
Calcular derivadas:
y_{1}' = -4\sin 4x, \qquad y_{1}'' = -16\cos 4x.
Substituindo em \,y'' + 16y:
y_{1}'' + 16 y_{1} = -16\cos 4x + 16\cos 4x = 0,
portanto \,y_{1}=\cos 4x satisfaz a equação — ótimo, é mesmo uma solução.

Passo 6

Agora ensino a técnica de redução de ordem (útil quando a prova dá uma solução e pede a outra). Ideia e passo-a-passo:
  1. Procuramos a segunda solução na forma \,y_{2}=v(x)\,y_{1}(x), com v(x) desconhecida. Isso força y_{2} a ser “multiplicada” por uma função para obter algo independente de y_{1}.
  2. Substituindo y_{2}=v y_{1} na equação geral e usando que y_{1} já satisfaz a equação, chega-se a uma equação de ordem inferior para v. Vou fazer as contas de forma enxuta mas completa.
Começo calculando derivadas (para simplicidade escrevo y_{1} em vez de \cos 4x até o final):
y_{2} = v y_{1}, \quad y_{2}' = v' y_{1} + v y_{1}', \quad y_{2}'' = v'' y_{1} + 2v' y_{1}' + v y_{1}''.
Substituindo em y'' + 16y = 0 e lembrando que y_{1} satisfaz a equação y_{1}'' + 16 y_{1} = 0, as parcelas que envolvem v multiplicadas por y_{1}''+16y_{1} cancelam, sobrando
v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' = 0.
Agora faça a substituição u = v'. Então u' = v'' e a equação vira
u' y_{1} + 2 u y_{1}' = 0.
Isto é uma equação de primeira ordem para u. Reescrevendo:
(u y_{1}^2)' = u' y_{1}^2 + 2 u y_{1} y_{1}' = y_{1}\big(u' y_{1} + 2u y_{1}'\big) = 0.
Daí (u y_{1}^2)' = 0 \Rightarrow u y_{1}^2 = C (constante). Tomando C=1 apenas para obter uma solução particular (qualquer constante diferente muda v por constante aditiva, que dá a mesma independência), obtemos
u = \frac{1}{y_{1}^2}.
Então
v = \int u\,dx = \int \frac{1}{y_{1}^2}\,dx.
E assim
y_{2} = y_{1}\int \frac{1}{y_{1}^2}\,dx
— essa é uma fórmula útil (quando a equação está no formato com coeficiente de y'' igual a 1 e sem termo y', ou mesmo no caso generalizado há uma forma similar com fator integrating factor).

Passo 7

Aplicando a fórmula com y_{1}=\cos 4x:
Calcular \int \dfrac{1}{\cos^2 4x}\,dx = \int \operatorname{sec}^2 4x\,dx. Sabendo que (\tan 4x)' = 4\operatorname{sec}^2 4x, segue que
\int \operatorname{sec}^2 4x\,dx = \frac{1}{4}\tan 4x + C.
Tomando a constante zero (pois multiplicadores escalares serão absorvidos nos coeficientes finais), obtemos
v = \frac{1}{4}\tan 4x, \qquad y_{2} = y_{1}\,v = \cos 4x \cdot \frac{1}{4}\tan 4x = \frac{1}{4}\sin 4x.
Note que o fator \tfrac{1}{4} é apenas uma constante multiplicativa; constantes podem ser absorvidas nos coeficientes da combinação linear final, então uma escolha conveniente para a segunda solução independente é simplesmente \,y_{2}=\sin 4x.

Passo 8

Verificação de independência linear (importante: duas soluções independentes geram a solução geral):
Calcular o Wronskiano de \,y_{1}=\cos 4x e \,y_{2}=\sin 4x:
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} \cos 4x & \sin 4x\\[4pt] -4\sin 4x & 4\cos 4x \end{vmatrix} = 4\cos^2 4x + 4\sin^2 4x = 4\big(\cos^2 4x + \sin^2 4x\big) = 4 \neq 0.
Como o Wronskiano é diferente de zero para todo x, as soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação.]

Resposta

y(x)=C_{1}\cos 4x + C_{2}\sin 4x

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