x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0 ; y_{1}=x^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial fornecida é x^{2}y''+2x y'-6y=0.
  • É dada uma solução conhecida: y_{1}=x^{2}.
  • O que se pede (implícito): encontrar a solução geral da equação linear de segunda ordem (ou, equivalentemente, encontrar uma segunda solução linearmente independente e escrever a combinação linear).

Passo 2

Identificar o tipo de equação e o método apropriado (explicação didática).
  • A equação tem a forma x^{2}y''+a x y'+b y=0 com constantes a,b. Esse é o caso clássico da equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional).
  • Para esse tipo de equação é muito natural tentar uma solução do tipo y=x^{r}, onde r é um número constante a determinar. Por que isso funciona? Porque ao derivar potências de x obtém-se potências de x também, e os fatores dependem só de r, permitindo reduzir a ODE a uma equação algébrica para r.

Passo 3

Substituir y=x^{r} na equação e obter a equação característica (passo-a-passo das contas).
  • Calcular derivadas de y=x^{r}: y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
  • Substituir em x^{2}y''+2x y'-6y=0: x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)+2x\big(r x^{r-1}\big)-6\big(x^{r}\big)=0.
  • Simplificar fatorando x^{r} (explicando: x^{2}x^{r-2}=x^{r} e x\cdot x^{r-1}=x^{r}): x^{r}\big(r(r-1)+2r-6\big)=0.
  • Como x^{r} não é identicamente zero (exceto possivelmente em x=0, ponto singular), a parte entre parênteses deve ser zero. Assim obtemos a equação característica para r: r(r-1)+2r-6=0.
  • Simplificar essa expressão: r^{2}+r-6=0.

Passo 4

Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
  • Resolver a quadrática r^{2}+r-6=0. Calcular o discriminante: \Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.
  • Raízes: r=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}.Portanto as raízes são r_{1}=2 e r_{2}=-3.
  • Cada raiz produz uma solução do tipo potência: y_{(r)}=x^{r}. Assim uma solução é x^{2} (coincide com a y_{1} dada) e a outra é x^{-3}. Ou seja, podemos tomar y_{2}=x^{-3}.

Passo 5

Mostrar que as duas soluções são linearmente independentes (por que dá para formar a solução geral) e observações sobre domínio.
  • Para garantir que y_{1} e y_{2} formam uma base de soluções, basta checar que são linearmente independentes. Uma maneira direta é calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2}): W= \begin{vmatrix} x^{2} & x^{-3} \\[4pt] 2x & -3x^{-4} \end{vmatrix} =x^{2}\cdot(-3x^{-4}) - x^{-3}\cdot(2x) = -3x^{-2}-2x^{-2}=-5x^{-2}.
  • Como W=-5x^{-2}\neq 0 para x\neq 0, as soluções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha x=0. Portanto a solução geral em um domínio onde x\neq 0 é a combinação linear das duas soluções independentes.
  • Observação sobre domínio: a equação é singular em x=0, então o tratamento é em intervalos onde x>0 ou onde x<0. As potências x^{r} estão bem definidas nesses intervalos (para x>0 sem problema).]

Resposta

y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-3}

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