x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0 ; y_{1}=x^{2}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial fornecida é
- É dada uma solução conhecida:
- O que se pede (implícito): encontrar a solução geral da equação linear de segunda ordem (ou, equivalentemente, encontrar uma segunda solução linearmente independente e escrever a combinação linear).
Passo 2
Identificar o tipo de equação e o método apropriado (explicação didática).
- A equação tem a forma
com constantes . Esse é o caso clássico da equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional). - Para esse tipo de equação é muito natural tentar uma solução do tipo
, onde é um número constante a determinar. Por que isso funciona? Porque ao derivar potências de obtém-se potências de também, e os fatores dependem só de , permitindo reduzir a ODE a uma equação algébrica para .
Passo 3
Substituir
na equação e obter a equação característica (passo-a-passo das contas).
- Calcular derivadas de
: - Substituir em
: - Simplificar fatorando
(explicando: e ): - Como
não é identicamente zero (exceto possivelmente em , ponto singular), a parte entre parênteses deve ser zero. Assim obtemos a equação característica para : - Simplificar essa expressão:
Passo 4
Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
- Resolver a quadrática
. Calcular o discriminante: - Raízes:
Portanto as raízes são e . - Cada raiz produz uma solução do tipo potência:
. Assim uma solução é (coincide com a dada) e a outra é . Ou seja, podemos tomar
Passo 5
Mostrar que as duas soluções são linearmente independentes (por que dá para formar a solução geral) e observações sobre domínio.
- Para garantir que
e formam uma base de soluções, basta checar que são linearmente independentes. Uma maneira direta é calcular o Wronskiano : - Como
para , as soluções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha . Portanto a solução geral em um domínio onde é a combinação linear das duas soluções independentes. - Observação sobre domínio: a equação é singular em
, então o tratamento é em intervalos onde ou onde . As potências estão bem definidas nesses intervalos (para sem problema).]