y^{\prime}=a x+b y+c \quad(a, b, c são constantes )
[Use a substituição u=a x+b y+c ]

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
y' = a\,x + b\,y + c
com a,b,c constantes, e sugere a substituição
u = a\,x + b\,y + c.
O que vamos precisar é transformar a equação em uma equação linear para u(x), resolver essa equação e depois voltar à variável y.

Passo 2

Derivando u em relação a x temos
u' = \frac{d}{dx}(a\,x + b\,y + c) = a + b\,y'.
Mas pela equação original y' = a\,x + b\,y + c = u. Logo
u' = a + b\,u.
Acabamos de obter uma EDO linear de coeficientes constantes para u:
u' - b\,u = a.

Passo 3

Para resolver
u' - b\,u = a
vemos que a homogênea é u_h' - b\,u_h=0 com solução
u_h = K\,e^{b\,x}.
Uma particular constante u_p satisfaz
0 - b\,u_p = a \quad\Longrightarrow\quad u_p = -\frac{a}{b}.
Portanto a solução geral é
u(x) = K\,e^{b\,x} - \frac{a}{b}.

Passo 4

Voltando à definição u = a\,x + b\,y + c, temos
a\,x + b\,y + c = K\,e^{b\,x} - \frac{a}{b}.
Isolando y:
b\,y = K\,e^{b\,x} - \frac{a}{b} - a\,x - c \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{K}{b}\,e^{b\,x} \;-\;\frac{a}{b}\,x \;-\;\frac{1}{b}\Bigl(c+\frac{a}{b}\Bigr).
Renomeando a constante arbitrária \tfrac{K}{b}=C, obtemos a forma mais usual.

Resposta

\boxed{y(x) = C\,e^{b\,x} \;-\;\frac{a}{b}\,x \;-\;\frac{1}{b}\Bigl(c+\frac{a}{b}\Bigr),}
onde C é a constante de integração.

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