[
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0 \quad, \quad y(1)=1
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0 \quad, \quad y(1)=1
Passo 1
Resumindo o enunciado: Temos a equação diferencial de primeira ordem exata
com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar exatidão, achar a função potencial e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Identificamos M(x,y)=2 x y^{2}+2 y e N(x,y)=2 x^{2} y+2 x. Calculamos as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Obtemos
comparando
com
:
Isso dá
, logo
.
Passo 5
A solução implícita geral é
Usando y(1)=1, temos
, então
.
Passo 6
Para expor
claramente, resolvemos
como equação quadrática em
. A solução é
ou seja
ou
. A condição inicial
seleciona
.
Resposta
y=1/x