[
\left(2 x y^{2}+2 y\right)+\left(2 x^{2} y+2 x\right) y^{\prime}=0 \quad, \quad y(1)=1

Passo 1

Resumindo o enunciado: Temos a equação diferencial de primeira ordem exata
(2 x y^2+2 y)+(2 x^2 y+2 x),y'=0
com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar exatidão, achar a função potencial e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2 x y^{2}+2 y e N(x,y)=2 x^{2} y+2 x. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4 x y+2, partial Npartial x=4 x y+2
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral(2 x y^2+2 y),dx = x^2y^2+2xy+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Obtemos h(y) comparando partialphi/partial y com N:
partialphipartial y=2x^2y+2x+h'(y) stackrel!=2x^2y+2x
Isso dá h'(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 5

A solução implícita geral é
x^2y^2+2xy=C
Usando y(1)=1, temos 1^2cdot1^2+2cdot1cdot1=3, então C=3.

Passo 6

Para expor y claramente, resolvemos
x^2y^2+2xy-3=0
como equação quadrática em y. A solução é
y=-2xpmraiz4x^2+12x^22x^2=-2xpm4x2x^2,
ou seja y=1/x ou y=-3/x. A condição inicial y(1)=1 seleciona y=1/x.

Resposta

y=1/x

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