[
y{\prime}=(t+y+3){2} \quad, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

Primeiro, resumindo o problema: temos a equação diferencial de primeira ordem y' = (t + y + 3)^2 com condição y'(0)=0. Vamos usar uma substituição para transformar em uma equação separável e depois aplicar integração para encontrar y(t).

Passo 2

Definimos a substituição u = t + y + 3. A ideia é expressar y' em termos de u. Como u = t + y + 3, temos
dudt = 1 + dydt = 1 + y' = 1 + u^2

Passo 3

A equação em u fica então
dudt = 1 + u^2
Isso é separável: podemos escrever
du1+u^2 = dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral du1+u^2 = integral dt
que resulta em
arctan(u) = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável y, temos u = tan(t + C). Lembrando que u = t + y + 3, obtemos
t + y + 3 = tan(t + C)
e, portanto,
y = tan(t + C) - t - 3

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y'(0)=0. Observando que y' = (t+y+3)^2, em t=0 vem
0 = y'(0) = (0 + y(0) + 3)^2 implies y(0) = -3
Substituindo em y(0)=tan(C)-0-3=-3 tan(C)=0, ou seja, C = kpi.

Passo 7

Escolhendo o caso principal C=0 (os demais apenas adicionam múltiplos de pi dentro da tangente, que se repetem), a solução particular é
y(t) = tan(t) - t - 3

Resposta

y(t) = \tan(t) - t - 3

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