[
y{\prime}=(t+y+3){2} \quad, \quad y^{\prime}(0)=0
y{\prime}=(t+y+3){2} \quad, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
Primeiro, resumindo o problema: temos a equação diferencial de primeira ordem
com condição
. Vamos usar uma substituição para transformar em uma equação separável e depois aplicar integração para encontrar
.
Passo 2
Definimos a substituição
. A ideia é expressar
em termos de
. Como
, temos
Passo 3
A equação em
fica então
Isso é separável: podemos escrever
Passo 4
Integramos ambos os lados:
que resulta em
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável
, temos
. Lembrando que
, obtemos
e, portanto,
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Observando que
, em
vem
Substituindo em
dá
, ou seja,
.
Passo 7
Escolhendo o caso principal
(os demais apenas adicionam múltiplos de
dentro da tangente, que se repetem), a solução particular é
Resposta
y(t) = \tan(t) - t - 3