(Questão aberta) Considere um circuito RL onde o resistor R=5 ohms, o indutor L=2 henries, e a tensão aplicada é constante, V=20 volts. A corrente i(t) no circuito obedece à equação diferencial dada pela Lei de Kirchhoff:
2 d id t+5 i=20
Sabendo que a corrente inicial é nula, ou seja, i(0)=0, determine a expressão da corrente i(t) para t>0.

Passo 1

A questão trata de um circuito RL com resistência R=5,Omega, indutância L=2, H e tensão constante de 20, V. Pela Lei de Kirchhoff obtemos a EDO linear de primeira ordem 2,tfracdidt + 5,i = 20. Para resolver, vamos usar a teoria de EDOs lineares não homogêneas: obter a solução homogênea, uma solução particular e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão de EDO linear de 1ª ordem. Dividindo tudo por 2, temos:
didt + 52,i = 10

Passo 3

Em seguida, achamos a solução homogênea associada à parte sem o termo constante, isto é, resolvemos
dihdt + 52,ih = 0
Isso dá uma exponencial decrescente:
ih(t) = C,e^-52t

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular ip assumindo-a constante (logo dip/dt=0). Substituindo em
52,K = 10
vemos que K=4. Portanto
ip(t) = 4

Passo 5

A solução geral é a soma das duas partes: i(t)=ih(t)+ip(t)=C e^-52t+4. Usando a condição inicial i(0)=0 obtemos
C+4=0Rightarrow C=-4
Logo, para t>0:
i(t)=4l(1-e^-52tr), A

Resposta

i(t)=4l(1-e^-tfrac52tr), A para t>0.

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