Se A=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ -4 & 3\end{array}\right], qual B abaixo é tal que B^{2}=A.
a. \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}-1 & -1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]
b. \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]
c. \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]
d. \quad B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & -1\end{array}\right]
e. B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & -2\\[0.3em]-4 & 3\end{pmatrix}
e pede qual das matrizes B nas opções satisfaz \,B^2 = A. Aqui vamos usar multiplicação de matrizes e comparar o resultado com A.]

Passo 2

Para a opção (a),
B = \begin{pmatrix}-1 & -1\\[0.3em]-2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando
B^2 = \begin{pmatrix}-1 & -1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(-1)(-2) & (-1)(-1)+(-1)(1)\\[0.3em] (-2)(-1)+(1)(-2) & (-2)(-1)+(1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix},
que não é igual a A.]

Passo 3

Para a opção (b),
B = \begin{pmatrix}1 & 1\\[0.3em]-2 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo o produto,
B^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1)+(1)(-2) & (1)(1)+(1)(1)\\[0.3em] (-2)(1)+(1)(-2) & (-2)(1)+(1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\\ -4 & -1\end{pmatrix},
que também não coincide com A.]

Passo 4

Para a opção (c),
B = \begin{pmatrix}1 & -1\\[0.3em]-2 & 1\end{pmatrix}.
Então
B^2 = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1)+(-1)(-2) & (1)(-1)+(-1)(1)\\[0.3em] (-2)(1)+(1)(-2) & (-2)(-1)+(1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -2\\\ -4 & 3\end{pmatrix} = A.]

Resposta

(c)

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